Chủ đề này có 7 trả lời

[thienminhdv]

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : $P=\cfrac{a^3}{\sqrt{b^2+1}}+\cfrac{b^3}{\sqrt{c^2+1}}+\cfrac{c^3}{\sqrt{a^2+1}}$

[Supermath98]

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : $P=\cfrac{a^3}{\sqrt{b^2+1}}+\cfrac{b^3}{\sqrt{c^2+1}}+\cfrac{c^3}{\sqrt{a^2+1}}$

Ta có $P= \sum \frac{a^{4}}{a\sqrt{b^{2}+1}}\geq \frac{\left ( \sum a^{2} \right )^{2}}{\sum a\sqrt{b^{2}+1}}= \frac{9}{\sum a\sqrt{b^{2}+1}}$

Lại có $\sum a\sqrt{b^{2}+1}\leq \frac{2\left ( \sum a^{2} \right )+3}{2}= \frac{9}{2}$  (Theo AM-GM)

Tù đó ta có $P\geq \frac{9}{\frac{9}{2}}=2$ Vậy Pmin =2

 

P/s: không biết có đúng không nữa?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Supermath98: 11-06-2013 - 16:08

[vutuanhien]

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : $P=\cfrac{a^3}{\sqrt{b^2+1}}+\cfrac{b^3}{\sqrt{c^2+1}}+\cfrac{c^3}{\sqrt{a^2+1}}$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có

+P=$\sum \frac{a^4}{a\sqrt{b^2+1}}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a\sqrt{b^2+1}+b\sqrt{c^2+1}+c\sqrt{a^2+1}}=\frac{9}{a\sqrt{b^2+1}+b\sqrt{c^2+1}+c\sqrt{a^2+1}}$

+$(a\sqrt{b^2+1}+b\sqrt{c^2+1}+c\sqrt{a^2+1})^2\leq (a^2+b^2+c^2)(a^2+b^2+c^2+3)=18\Rightarrow a\sqrt{b^2+1}+b\sqrt{c^2+1}+c\sqrt{a^2+1}\leq \sqrt{18}$

Suy ra $P\geq \frac{9}{\sqrt{18}}=\frac{3}{\sqrt{2}}$

[vutuanhien]

Ta có $P= \sum \frac{a^{4}}{a\sqrt{b^{2}+1}}\geq \frac{\left ( \sum a^{2} \right )^{2}}{\sum a\sqrt{b^{2}+1}}= \frac{9}{\sum a\sqrt{b^{2}+1}}$

Lại có $\sum a\sqrt{b^{2}+1}\leq \frac{2\left ( \sum a^{2} \right )+3}{2}= \frac{9}{2}$  (Theo AM-GM)

Tù đó ta có $P\geq \frac{9}{\frac{9}{2}}=2$ Vậy Pmin =2

Đoạn này sai rồi   

[Supermath98]

Đoạn này sai rồi   

sao vậy bạn?

[vutuanhien]

sao vậy bạn?

Áp dụng AM-GM nhưng đẳng thức có xảy ra đâu. Không tin bạn thay số vào mà xem

[Supermath98]

Áp dụng AM-GM nhưng đẳng thức có xảy ra đâu. Không tin bạn thay số vào mà xem

Ukm! I'm incorrect.

[hung183461]

Đặt $ A= ( a^2 + 1 ) + (b^2 + 1 ) + ( c^2 +1 ) $ . Ta có : $ A = 6 $ 

 

Áp dụng Bđt Holder ta có

 

$P^2A \geq ( a^2 + b^2 + c^2)^3 = 27$

$ => P^2 \geq  \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$

 $P \geq \frac{ 3}{\sqrt{2}}$

 

 

Vậy GTNN của $ P$ là $\frac{ 3}{\sqrt{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hung183461: 12-06-2013 - 09:12