Giải phương trình $\sqrt{3x-1}+\sqrt{2-x}=4x^2-3x-1$
Giải phương trình $\sqrt{3x-1}+\sqrt{2-x}=4x^2-3x-1$
#1
Đã gửi 11-06-2013 - 18:26
#2
Đã gửi 11-06-2013 - 21:27
Giải phương trình $\sqrt{3x-1}+\sqrt{2-x}=4x^2-3x-1$
Em có cách này nhưng nó không được hay cho lắm.
Đặt $\sqrt{2-x}=a\Rightarrow 3x-1=5-3a^{2}$
$x=2-a^{2}$
Từ pt đầu $\Rightarrow (3x-1)=(4x^{2}-3x-1-\sqrt{2-x})^{2}$
Hay $5-a^{2}=(4(2-a^{2})^{2}-3(2-a^{2})-1-a)^{2}$
Khai triển và phân tích nhân tử, sẽ có một nhân tử là $2a^{2}+a-2$
- jb7185 yêu thích
ONG NGỰA 97.
#3
Đã gửi 11-06-2013 - 22:11
Giải phương trình $\sqrt{3x-1}+\sqrt{2-x}=4x^2-3x-1$
Điều kiện của $x$ là $2 \ge x \ge \frac{1}{3}$.
Khi đó PT tương đương:
$\Leftrightarrow 2\left( {\sqrt {2 - x} + 1 - \sqrt {3x - 1} } \right) = \left( {2x + 1 + \sqrt {3x - 1} } \right)\left( {\sqrt {3x - 1} - 1 + \sqrt {2 - x} } \right)\left( {\sqrt {3x - 1} - 1 - \sqrt {2 - x} } \right)$
$\Leftrightarrow \left( {\sqrt {2 - x} + 1 - \sqrt {3x - 1} } \right)\left[ {2 + \left( {2x + 1 + \sqrt {3x - 1} } \right)\left( {\sqrt {3x - 1} - 1 + \sqrt {2 - x} } \right)} \right] = 0$
Do $\sqrt{3x-1}+\sqrt{2-x}>1$ (có thể bình phương lên để chứng minh) nên :
$$2 + \left( {2x + 1 + \sqrt {3x - 1} } \right)\left( {\sqrt {3x - 1} - 1 + \sqrt {2 - x} } \right)>0$$.
Như vậy:
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 11-06-2013 - 22:28
- jb7185, phanquockhanh và ongngua97 thích
#4
Đã gửi 12-06-2013 - 13:21
Điều kiện của $x$ là $2 \ge x \ge \frac{1}{3}$.
Khi đó PT tương đương:
$\begin{array}{l}\sqrt {2 - x} + 1 - \sqrt {3x - 1} = 4{x^2} - \left( {3x + 2\sqrt {3x - 1} } \right)\\\Leftrightarrow 2\left( {\sqrt {2 - x} + 1 - \sqrt {3x - 1} } \right) = 2\left( {2x + 1 + \sqrt {3x - 1} } \right)\left( {2x - \sqrt {3x - 1} - 1} \right)\\\Leftrightarrow 2\left( {\sqrt {2 - x} + 1 - \sqrt {3x - 1} } \right) = \left( {2x + 1 + \sqrt {3x - 1} } \right)\left[ {{{\left( {\sqrt {3x - 1} - 1} \right)}^2} - \left( {2 - x} \right)} \right]\end{array}$$\Leftrightarrow 2\left( {\sqrt {2 - x} + 1 - \sqrt {3x - 1} } \right) = \left( {2x + 1 + \sqrt {3x - 1} } \right)\left( {\sqrt {3x - 1} - 1 + \sqrt {2 - x} } \right)\left( {\sqrt {3x - 1} - 1 - \sqrt {2 - x} } \right)$
$\Leftrightarrow \left( {\sqrt {2 - x} + 1 - \sqrt {3x - 1} } \right)\left[ {2 + \left( {2x + 1 + \sqrt {3x - 1} } \right)\left( {\sqrt {3x - 1} - 1 + \sqrt {2 - x} } \right)} \right] = 0$
Do $\sqrt{3x-1}+\sqrt{2-x}>1$ (có thể bình phương lên để chứng minh) nên :
$$2 + \left( {2x + 1 + \sqrt {3x - 1} } \right)\left( {\sqrt {3x - 1} - 1 + \sqrt {2 - x} } \right)>0$$.
Như vậy:
\[\begin{array}{rcl}\sqrt {2 - x} + 1 = \sqrt {3x - 1} &\Leftrightarrow& 3 - x + 2\sqrt {2 - x} = 3x - 1\\&\Leftrightarrow& \sqrt {2 - x} = 2\left( {x - 1} \right)\\&\Leftrightarrow& 2 - x = 4\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)\\&\Leftrightarrow& 4{x^2} - 7x + 2 = 0\\&\Leftrightarrow& x = \frac{{7 \pm \sqrt {17} }}{8}\end{array}\]So sánh với điều kiện $2 \ge x \ge \frac{1}{3}$,ta nhận $x=\frac{7+\sqrt{17}}{8}$.Vậy PT có nghiệm duy nhất là $\boxed{\displaystyle x=\frac{7+\sqrt{17}}{8}}$.
phân tích cái vế trái là (x-1)(4x+1) nên đk nó là x$\geq1$ nữa
tàn lụi
#5
Đã gửi 12-06-2013 - 17:27
phân tích cái vế trái là (x-1)(4x+1) nên đk nó là x$\geq1$ nữa
Bạn đã lầm lẫn giữa điều kiện có nghiệm và điều kiện xác định của bài toán. Cái mà bạn có được chính là điều kiện để PT có nghiệm.
- phanquockhanh yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh