Chủ đề này có 1 trả lời

[thienminhdv]

Cho các số thực dương  thoả mãn $a^2+b^2+c^2+ab-2bc-2ca=0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 

$P=\cfrac{c^2}{\left ( a+b-c \right )^2}+\cfrac{c^2}{a^2+b^2}+\cfrac{\sqrt{ab}}{a+b}$

[ongngua97]

Cho các số thực dương  thoả mãn $a^2+b^2+c^2+ab-2bc-2ca=0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 

$P=\cfrac{c^2}{\left ( a+b-c \right )^2}+\cfrac{c^2}{a^2+b^2}+\cfrac{\sqrt{ab}}{a+b}$

Từ gt ta có $(a+b-c)^{2}=ab\Leftrightarrow a+b-c=\sqrt{ab}\Rightarrow c\geq \frac{a+b}{2}$

 

Do đó $P\geq \frac{(a+b)^{2}}{4ab}+\frac{(a+b)^{2}}{4(a^{2}+b^{2})}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}=(\frac{(a+b)^{2}}{8ab}+\frac{(a+b)^{2}}{4(a^{2}+b^{2})})+(\frac{(a+b)^{2}}{8ab}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b})\geq \frac{(2a+2b)^{2}}{4(a+b)^{2}}+2\sqrt{\frac{a+b}{8\sqrt{ab}}}\geq 1+1=2$

 

Vậy P đạt GTNN là 2 khi a=b=c.