Chủ đề này có 1 trả lời

[phanquockhanh]

Tìm m đề hệ phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 

$\left\{\begin{matrix} x+y =m\\ (y+1)x^2 +xy =m(x+1) \end{matrix}\right.$

 

[dark templar]

Tìm m đề hệ phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 

$\left\{\begin{matrix} x+y =m\\ (y+1)x^2 +xy =m(x+1) \end{matrix}\right.$

Thay $y=m-x$ vào PT thứ 2 sẽ đưa ta về giải quyết bài toán "Định $m$ để PT $x^3-mx^2+m=0$ có 3 nghiệm phân biệt."

 

Xét trên hệ trục tọa độ Descartes,yêu cầu bài toán sẽ tương đương với định $m$ để tích tung độ 2 điểm cực trị là số âm.

 

Dễ thấy hàm $y=f(x)=x^3-mx^2+m$ liên tục và xác định trên $\mathbb{R}$ nên xét $f'(x)=3x^2-2mx \quad (2)$.

 

Để hàm số $f(x)$ có 2 điểm cực trị phân biệt thì $\Delta'_{(2)}=m^2>0 \iff m \ne 0$.

 

Gọi tọa độ 2 điểm cực trị là $A(x_1;y_1);B(x_2;y_2)$.Khi đó bằng định lý Viète,ta sẽ có $x_1=0 \vee x_2=0$ và $x_1+x_2=\frac{2m}{3}$. Ta giả sử $x_1=0$ thì $x_2=\frac{2m}{3}$

 

Suy ra:

\[\begin{array}{rcl}{y_1}{y_2} < 0 &\Leftrightarrow& \left( {x_1^3 - mx_1^2 + m} \right)\left( {x_2^3 - mx_2^2 + m} \right) < 0\\&\Leftrightarrow& m\left( {\frac{{8{m^3}}}{{27}} - \frac{{4{m^3}}}{9} + m} \right) < 0\\&\Leftrightarrow& \frac{{ - 4}}{{27}}{m^2} + 1 < 0\\&\Leftrightarrow& m > \frac{{3\sqrt 3 }}{2} \vee m <  - \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\end{array}\]

 

Vậy điều kiện $m$ cần tìm là  $\boxed{\displaystyle m \in \left( { - \infty ; - \frac{{3\sqrt 3 }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{3\sqrt 3 }}{2}; + \infty } \right)}$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 13-06-2013 - 20:45