Chứng minh rằng nếu đa thức bậc hai nhận giá trị nguyên tại 3 giá trị nguyên liên tiếp của biến số x thì đa thức nhận giá trị nguyên tại mọi x nguyên.
Bài toán về giá trị đa thức
#1
Đã gửi 12-06-2013 - 21:57
#2
Đã gửi 16-06-2013 - 08:10
Chứng minh rằng nếu đa thức bậc hai nhận giá trị nguyên tại 3 giá trị nguyên liên tiếp của biến số x thì đa thức nhận giá trị nguyên tại mọi x nguyên.
Gọi đa thức đó là $f(x)=ax^2+bx+c$ và ba giá trị nguyên liên tiếp của $x$ là $y-1,y,y+1$ (với $y$ nguyên)
Ta có
$\left\{\begin{matrix} f(y)\in \mathbb{Z} & \\ f(y+1)\in \mathbb{Z} & \\ f(y-1)\in \mathbb{Z} & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} ay^2+by+c\in \mathbb{Z} & \\ a(y+1)^2+b(y+1)+c\in \mathbb{Z} & \\ a(y-1)^2+b(y-1)+c\in \mathbb{Z} & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} ay^2+by+c\in \mathbb{Z} & (1)\\ ay^2+by+c+2ay+a+b\in \mathbb{Z} & (2)\\ ay^2+by+c-2ay+a-b\in \mathbb{Z} & (3) \end{matrix}\right.$
Từ $(1),(2),(3)$ ta suy ra
$\left\{\begin{matrix} 2ay+a+b\in \mathbb{Z} & (4)\\ -2ay+a-b\in \mathbb{Z} & (5) \end{matrix}\right.$
Cộng $(4)$ và $(5)$, ta được $2a\in \mathbb{Z}\Rightarrow a\in \mathbb{Z}$ $(6)$
Từ $(4),(5),(6)$ suy ra $b\in \mathbb{Z}$
Mà $ay^2+by+c\in \mathbb{Z}\Rightarrow c\in \mathbb{Z}$
Suy ra các hệ số của đa thức $f(x)=ax^2+bx+c$ đều là những số nguyên.
Vậy...
- Yagami Raito yêu thích
“Hầu hết mọi người đều chấp nhận thua cuộc ngay khi họ sắp thành công. Họ dừng lại
ngay trước vạch đích, cách chiến thắng chỉ một bàn chân” -H. Ross Perot
“Tránh xa những kẻ coi nhẹ tham vọng của bạn. Những kẻ nhỏ nhen luôn như thế, còn
những người thực sự vĩ đại sẽ khiến bạn cảm thấy rằng bạn cũng có thể trở nên vĩ đại”
-Mark Twain
Huỳnh Tiến Phát ETP
$WELCOME$ $TO$ $MY$ $FACEBOOK$: https://www.facebook.com/phat.huynhtien.39
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh