Chủ đề này có 1 trả lời

[lytiti]

Cho phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ $(1)$

$a,$ CM: nếu $a,\ b,\ c$ thoả mãn: $4a-5b+9c=0$ thì $pt(1)$ luôn có nghiệm.

$b,$ Cho $a=2,$ tìm điều kiện của $b,\ c$ để $pt(1)$ có $2$ nghiệm cùng dấu $x_1,\ x_2$ sao cho:

$\left | x_1+x_2+\sqrt{x_1x_2}\right | +\left | x_1+x_2-\sqrt{x_1x_2} \right |=2010$

Mod: Chú ý tiêu đề ngắn gọn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DarkBlood: 13-06-2013 - 23:27

[DarkBlood]

Cho phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ $(1)$

$a,$ CM: nếu $a,\ b,\ c$ thoả mãn: $4a-5b+9c=0$ thì $pt(1)$ luôn có nghiệm.

$b,$ Cho $a=2,$ tìm điều kiện của $b,\ c$ để $pt(1)$ có $2$ nghiệm cùng dấu $x_1,\ x_2$ sao cho:

$\left | x_1+x_2+\sqrt{x_1x_2}\right | +\left | x_1+x_2-\sqrt{x_1x_2} \right |=2010$

Mod: Chú ý tiêu đề ngắn gọn.

Lần đầu làm dạng này Có gì sai sót giúp mình nhé

 

$a)$ Ta có: $4a-5b+9c=0\Longleftrightarrow b^2=\dfrac{(4a+9c)^2}{25}$

 

$\Longleftrightarrow b^2-4ac=\dfrac{(4a+9c)^2}{25}-4ac\Longleftrightarrow \Delta=\dfrac{8a-7c)^2}{100}+\dfrac{11c^2}{4}\geq 0$

 

Do đó phương trình luôn có nghiệm.

 

$b)$ Áp dụng định lí $\text{Viète},$ ta có: 

 

$x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=\dfrac{-b}{2}$ và $x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{c}{2}$

 

Vì phương trình có hai nghiệm cùng dấu nên $x_1x_2\geq 0$ hay $c\geq 0$

 

Ta có:

$\left | x_1+x_2+\sqrt{x_1x_2}\right | +\left | x_1+x_2-\sqrt{x_1x_2} \right |=2010$

 

$\Leftrightarrow \left | \sqrt{\dfrac{c}{2}}-\dfrac{b}{2} \right |+\left | \sqrt{\dfrac{c}{2}}+\dfrac{b}{2} \right |=2010$

 

$\Leftrightarrow \left ( \left | \sqrt{\dfrac{c}{2}}-\dfrac{b}{2} \right |+\left | \sqrt{\dfrac{c}{2}}+\dfrac{b}{2} \right | \right )^2=2010^2$

 

$\Leftrightarrow c+\dfrac{b^2}{2}+\left | c-\dfrac{b^2}{2} \right |=2010^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$

 

Vì phương trình có nghiệm nên $\Delta=b^2-4ac=b^2-8c\geq 0\Longleftrightarrow c\leq \dfrac{b^2}{8}\leq \dfrac{b^2}{2}\Longleftrightarrow c-\dfrac{b^2}{2}\leq0$

 

Do đó: $(1)\Longleftrightarrow c+\dfrac{b^2}{2}+\dfrac{b^2}{2}-c=2010^2\Longleftrightarrow b=\pm\ 2010$

 

Khi đó: $0\leq c\leq \dfrac{b^2}{8}=\dfrac{2010^2}{8}=\dfrac{1005^2}{2}$

 

Vậy với $a=2\ ;\ b=\pm\ 2010\ ;\ 0\leq c\leq \dfrac{1005^2}{2}$ thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu thỏa mãn đề bài.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DarkBlood: 13-06-2013 - 23:15