Cho a,b,c, là các số thực bất kì Chứng minh rằng$(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geq 3(a+b+c)^{2}$
Cho a,b,c, là các số thực bất kì Chứng minh rằng$(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geq 3(a+b+c)^{2}$
Started By mystery266, 13-06-2013 - 23:33
#2
Posted 14-06-2013 - 00:07
vutuanhien
-
- ĐHV Toán Cao cấp
-
- 691 posts
Thiếu úy
Cho a,b,c, là các số thực bất kì Chứng minh rằng$(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geq 3(a+b+c)^{2}$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có
$(a^2+2)\left [ 1+\frac{(b+c)^2}{2} \right ]\geq (a+b+c)^2$
Do đó ta chỉ cần chứng minh $(b^2+2)(c^2+2)\geq 3\left [ 1+\frac{(b+c)^2}{2} \right ]\Leftrightarrow b^2c^2+\frac{b^2+c^2}{2}-3bc+1\geq 0\Leftrightarrow (bc-1)^2+\frac{(b-c)^2}{2}\geq 0$
(hiển nhiên đúng)
Edited by vutuanhien, 14-06-2013 - 00:07.
- mystery266 and chuyentoan1998 like this
"Algebra is the offer made by the devil to the mathematician. The devil says: I will give you this powerful machine, it will answer any question you like. All you need to do is give me your soul: give up geometry and you will have this marvelous machine." (M. Atiyah)
#3
Posted 14-06-2013 - 01:04
25 minutes
-
- Hiệp sỹ
-
- 2795 posts
Thành viên nổi bật 2015
Cho a,b,c, là các số thực bất kì Chứng minh rằng$(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geq 3(a+b+c)^{2}$
BĐT mạnh hơn 1 chút
$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \geq 4(a^2+b^2+c^2)+5(ab+bc+ac) \geq 3(a+b+c)^2$
- mystery266 likes this
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users
