Giải phương trình sau:
$\sqrt[4]{x- \sqrt{{x}^{2}-1}} + \sqrt{x+ \sqrt{{x}^{2}-1}} = 2 \quad (1)$
Em giải ra biết là đáp số x = 1 nhưng trong quá trình giải phải chứng minh 1 nghiệm khác là vô nghiệm. Giả sử như mình đặt ẩn là:
$x- \sqrt{{x}^{2}-1}$
thì khi giải sẽ ra nó bằng 1 và bằng $\frac{7+3\sqrt{5}}{2}$ . Chứng minh cái nghiệm xấu ở sau là vô nghiệm ( không tìm ra x ) khá là lâu với cách bình phương hì hục. Không biết có ai tìm được cách giải khác hay hơn không?
Xin cám ơn trước
Điều kiện của $x$ là $x \ge 1$.
Xét phép đặt $x=\frac{e^{y}+e^{-y}}{2} \implies x^2-1=\left(\frac{e^{y}-e^{-y}}{2} \right)^2$
Không mất tính tổng quát,xét $y \ge 0$. Khi đó $\sqrt{x^2-1}=\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}$ và PT $(1)$ trở thành:
\[\begin{array}{l}\sqrt[4]{{\frac{{{e^y} + {e^{ - y}}}}{2} - \left( {\frac{{{e^y} - {e^{ - y}}}}{2}} \right)}} + \sqrt {\frac{{{e^y} + {e^{ - y}}}}{2} + \frac{{{e^y} - {e^{ - y}}}}{2}} = 2\\\Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt[4]{{{e^y}}}}} + \sqrt {{e^y}} = 2\end{array}\]
Đến đây thì đặt $t=\sqrt[4]{e^{y}}(t \ge 1)$ thì PT trên lại trở thành:
\[\begin{array}{rcl}\frac{1}{t} + {t^2} = 2 &\Leftrightarrow& {t^3} - 2t + 1 = 0\\&\Leftrightarrow& \left( {t - 1} \right)\left( {{t^2} + t - 1} \right) = 0\\&\Leftrightarrow& t = 1\end{array}\]
$(\star):t = 1 \Leftrightarrow {e^y} = 1 \Leftrightarrow {e^{ - y}} = 1 \Leftrightarrow x = 1$
Vậy PT có nghiệm duy nhất là $\boxed{x=1}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 14-06-2013 - 21:45
