Chủ đề này có 3 trả lời

[iamshant]

Chứng minh rằng $\forall n \epsilon N^{*}$ ta có, $2C_{2}^{2n}+4C_{4}^{2n}+...+2nC_{2n}^{2n}=\frac{n}{2}4^{n}$

[dark templar]

Chứng minh rằng $\forall n \epsilon N^{*}$ ta có, $2C_{2}^{2n}+4C_{4}^{2n}+...+2nC_{2n}^{2n}=\frac{n}{2}4^{n}$

Theo quy tắc hút,ta có:

$$k\binom{2n}{2k}=n\binom{2n-1}{2k-1}$$

 

Suy ra:

\[\begin{array}{rcl}S &=& 2\sum\limits_{k = 1}^n {k\binom{2n}{2k}}  = 2n\sum\limits_{k = 1}^n {\binom{2n - 1}{2k - 1}} \\&=& 2n\sum\limits_{k = 1}^n {\binom{2n - 1}{2n - 2k}}  = 2n\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {\binom{2n - 1}{2k}} \\\Rightarrow S &=& n\left( {\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {\binom{2n - 1}{2k}}  + \sum\limits_{k = 1}^n {\binom{2n - 1}{2k - 1}} } \right) = n\sum_{k=0}^{2n-1}\binom{2n-1}{k}\\&=& n2^{2n-1}=\boxed{\displaystyle  \frac{{n{4^n}}}{2}}\end{array}\]

[cool hunter]

Quy tắc hút là gì vậy anh

[hxthanh]

Quy tắc hút (absorption)

$\frac{n}{k}{n-1\choose k-1}={n\choose k}$

 

Phân số $\frac{n}{k}$ như bị "hút" vào dấu binom