Chứng minh rằng $\forall n \epsilon N^{*}$ ta có, $2C_{2}^{2n}+4C_{4}^{2n}+...+2nC_{2n}^{2n}=\frac{n}{2}4^{n}$
$2C_{2}^{2n}+4C_{4}^{2n}+...+2nC_{2n}^{2n}=\frac{n}{2}4^{n}$
Bắt đầu bởi iamshant, 15-06-2013 - 10:14
#1
Đã gửi 15-06-2013 - 10:14
Rất mong được sự giúp đỡ của các bạn
#2
Đã gửi 15-06-2013 - 11:05
Chứng minh rằng $\forall n \epsilon N^{*}$ ta có, $2C_{2}^{2n}+4C_{4}^{2n}+...+2nC_{2n}^{2n}=\frac{n}{2}4^{n}$
Theo quy tắc hút,ta có:
$$k\binom{2n}{2k}=n\binom{2n-1}{2k-1}$$
Suy ra:
\[\begin{array}{rcl}S &=& 2\sum\limits_{k = 1}^n {k\binom{2n}{2k}} = 2n\sum\limits_{k = 1}^n {\binom{2n - 1}{2k - 1}} \\&=& 2n\sum\limits_{k = 1}^n {\binom{2n - 1}{2n - 2k}} = 2n\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {\binom{2n - 1}{2k}} \\\Rightarrow S &=& n\left( {\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {\binom{2n - 1}{2k}} + \sum\limits_{k = 1}^n {\binom{2n - 1}{2k - 1}} } \right) = n\sum_{k=0}^{2n-1}\binom{2n-1}{k}\\&=& n2^{2n-1}=\boxed{\displaystyle \frac{{n{4^n}}}{2}}\end{array}\]
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.
#3
Đã gửi 15-06-2013 - 20:49
Quy tắc hút là gì vậy anh
Thà đừng yêu để giữ mình trong trắng
Lỡ yêu rôì nhất quyết phải thành công
#4
Đã gửi 15-06-2013 - 20:58
Quy tắc hút (absorption)
$\frac{n}{k}{n-1\choose k-1}={n\choose k}$
Phân số $\frac{n}{k}$ như bị "hút" vào dấu binom
- phanquockhanh yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh