Chủ đề này có 17 trả lời

[Gemini Shin]

Câu 1: Tính giá trị A = $\sqrt{21-12\sqrt{3}}$ - $\frac{1}{\sqrt{13+4\sqrt{3}}}$
 
Câu 2: Giải phương trình: $(x-3)(x-2)(x+3)(x+4) = 7$
 
Câu 3: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Qua C $\epsilon$ nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến xy với nửa đường tròn. M, N là hình chiếu của A, B trên và H là hình chiếu của C trên AB. Chứng minh $CM^{2} = AM.BN$
 
Câu 4: Cho x, y thỏa điều kiện $3x + y =1$. Tìm $max_{B} = 2xy$
 
Câu 5: Cho a+b+c=0. Chứng minh $a^{4}+b^{4}+c^{4}=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$
 
Câu 6: Giải hệ $\left\{\begin{matrix} x+y+xy=7\\ x^{2}+y^{2}+xy=13\\ \end{matrix}\right.$
 
Câu 7: Cho phương trình: $ax^{2}+bx+c=0$ có 2 nghiệm dương phân biệt $x_{1}x_{2}$
            Chứng minh $cx^{2}+bx+a=0$ cũng có 2 nghiệm dương phân biệt $x_{3}x_{4}$
 
Câu 8: Cho m, n là 2 số chính phương lẻ liên tiếp. Chứng minh: $mn-m-n+1\vdots 192$
 
Câu 9: Cho $\Delta ABC$ vuông cân tại A. Từ P trên BC kẻ $PK\perp AC$, $PL\perp AB$. M là trung điểm BC. Lấy I $\epsilon$
 AM sao cho M là trung điểm AI. Chứng minh $IP>KL$
 
Câu 10: Cho a, b, c > 0. Chứng minh: $\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}c{}\geq a+b+c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gemini Shin: 16-06-2013 - 00:08

[25 minutes]

Câu 10: Cho a, b, c > 0. Chứng minh: $\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}c{}\geq a+b+c$

Áp dụng AM-GM ta có 

                   $\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b} \geq 2c$

                   $\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c} \geq 2a$

                   $\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a} \geq 2b$

Cộng 3 bđt trên lại ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c>0$

[datcoi961999]

 BÀI 5                                                                                 

 lời giải đơn giản:                                                                                                       

 vì $a+b+c=0$ nên $a= -b-c$ => $a^2=(b+c)^2$                      

 =>$ a^2-b^2-c^2=2bc$                                                         

 =>$\left ( a^2-b^2-c^2\right )^{2}=4b^{2}c^{2}$                         

 =>$a^{4}+b^{4}+c^{4}=2a^2b^2+2b^2c^2+c^2a^2$                   

 =>$2a^4+2b^4+2c^4=(a^2+b^2+c^2)^2$                                     

 => $a^4+b^4+c^4=\frac{1}{2}.(a^2+b^2+c^2)^2$(đpcm)                   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi datcoi961999: 15-06-2013 - 19:48

[Trang Luong]

Câu 1: Ta có : 

$P=\sqrt{21-12\sqrt{3}}.\frac{1}{\sqrt{13+4\sqrt{3}}}=\sqrt{\sqrt{12}^{2}+3^{2}-2.3.\sqrt{12}}.\frac{1}{12+1+4\sqrt{3}}=\left ( \sqrt{12}-3 \right ).\frac{1}{\sqrt{12}+1}=\frac{\sqrt{12}-3}{\sqrt{12}+1}=1-\frac{4}{\sqrt{12}+1}$

P/s: LÀm bài dễ nhất 

[Trang Luong]

Câu 6: Đặt $xy=a,x+y=b$

Ta có HPT mới là $\left\{\begin{matrix} a+b=7 & & \\ a^{2}-b=13 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow a^{2}+a=20\Rightarrow a=4,b=3\Rightarrow x=1,y=3;y=1,x=3$

[phatthemkem]

 

 

Câu 2: Giải phương trình: $(x-3)(x-2)(x+3)(x+4) = 7$

 

pt tương đương với

$$(x-3)(x+4)(x-2)(x+3) = 7$$

$$\Leftrightarrow (x^2+x-12)(x^2+x-6) = 7$$

$$\Leftrightarrow (x^2+x-9)^2-9 = 7$$

$$\Leftrightarrow (x^2+x-9)^2=16$$

Dễ rồi.

[phatthemkem]

 

Câu 4: Cho x, y thỏa điều kiện $3x + y =1$. Tìm $max_{B} = 2xy$

Ta có $y=1-3x$

$\Rightarrow B=2x-6x^2=-(x\sqrt{6}-\frac{1}{\sqrt{6}})^2+\frac{1}{6}\leq \frac{1}{6}$

$MaxB=\frac{1}{6}\Leftrightarrow x=6^{-1},y=2^{-1}$

[phatthemkem]

 

Câu 7: Cho phương trình: $ax^{2}+bx+c=0$ có 2 nghiệm dương phân biệt $x_{1}x_{2}$

            Chứng minh $cx^{2}+bx+a=0$ cũng có 2 nghiệm dương phân biệt $x_{3}x_{4}$

 

Vì phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ có 2 nghiệm dương phân biệt $x_{1}x_{2}$ nên

$\left\{\begin{matrix} b^2> 4ac &  \\ \frac{-b}{a}> 0 & (1) \\ ac> 0 & (2) \end{matrix}\right.$

Lấy $(1)$ nhân $(2)$ vế theo vế, ta được $-bc> 0$ hay $-b$ và $c$ cùng dấu, suy ra $\frac{-b}{c}> 0$

Xét phương trình $cx^{2}+bx+a=0$ có hai nghiệm $x_{3}x_{4}$ có

$\left\{\begin{matrix} \Delta =b^2-4ac> 0 & \\ x_{3}+x_{4}=\frac{-b}{c}> 0 & \\ x_{3}x_{4}=ac> 0& \end{matrix}\right.$

Suy ra $dpcm$

[phatthemkem]

 

Câu 8: Cho m, n là 2 số chính phương nhỏ liên tiếp. Chứng minh: $mn-m-n+1\vdots 192$

 

Với $m=9,n=16$ thì $mn-m-n+1=120\vdots 192$ $???$

[Gemini Shin]

Câu 6: Đặt $xy=a,x+y=b$
Ta có HPT mới là $\left\{\begin{matrix} a+b=7 & & \\ a^{2}-b=13 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow a^{2}+a=20\Rightarrow a=4,b=3\Rightarrow x=1,y=3;y=1,x=3$

 

Câu 1: Ta có : 
$P=\sqrt{21-12\sqrt{3}}.\frac{1}{\sqrt{13+4\sqrt{3}}}=\sqrt{\sqrt{12}^{2}+3^{2}-2.3.\sqrt{12}}.\frac{1}{12+1+4\sqrt{3}}=\left ( \sqrt{12}-3 \right ).\frac{1}{\sqrt{12}+1}=\frac{\sqrt{12}-3}{\sqrt{12}+1}=1-\frac{4}{\sqrt{12}+1}$
P/s: LÀm bài dễ nhất 

Bạn cần khai căn nữa. đó mới là kết quả cuối cùng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gemini Shin: 15-06-2013 - 22:50

[Gemini Shin]

Câu 6: Đặt $xy=a,x+y=b$

Ta có HPT mới là $\left\{\begin{matrix} a+b=7 & & \\ a^{2}-b=13 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow a^{2}+a=20\Rightarrow a=4,b=3\Rightarrow x=1,y=3;y=1,x=3$

 

Với $m=9,n=16$ thì $mn-m-n+1=120\vdots 192$ $???$

oh. đề sai. là 2 số chính phương lẻ liên tiếp.

[lequanghung98]

pt tương đương với

$$(x-3)(x+4)(x-2)(x+3) = 7$$

$$\Leftrightarrow (x^2+x-12)(x^2+x-6) = 7$$

$$\Leftrightarrow (x^2+x-9)^2-9 = 7$$

$$\Leftrightarrow (x^2+x-9)^2=16$$

Dễ rồi.

 

$\Leftrightarrow (x^{2}+x-9-4)(x^{2}+x-9+4)=0$

$\Leftrightarrow (x^{2}+x-13)(x^{2}+x-5)=0$

$x^{2}+x-13=0 (\bigtriangleup =53)$

$x_{3}=\frac{-1+\sqrt{53}}{2}$

$x_{4}=\frac{-1-\sqrt{53}}{2}$

$x^{2}+x-5=0 (\bigtriangleup =21)$

$x_{1}=\frac{-1+\sqrt{21}}{2}$

$x_{2}=\frac{-1-\sqrt{21}}{2}$

Vậy phương trình có 4 nghiệm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lequanghung98: 15-06-2013 - 23:24

[phatthemkem]

Câu 8: Cho m, n là 2 số chính phương lẻ liên tiếp. Chứng minh: $mn-m-n+1\vdots 192$
 

Đặt $m=(2a-1)^2,n=(2a+1)^2$ $(a\in \mathbb{Z}^+)$

$mn-m-n+1=(m-1)(n-1)=16(a-1)a^2(a+1)\vdots 192$

[phatthemkem]

 
Câu 3: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Qua C $\epsilon$ nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến xy với nửa đường tròn. M, N là hình chiếu của A, B trên và H là hình chiếu của C trên AB. Chứng minh $CM^{2} = AM.BN$
 
 

Dễ thấy $\widehat{MCA}=\widehat{CBA}=\widehat{ACH}$

$\Rightarrow \Delta MCA=\Delta HCA$

$\Rightarrow AM=AH,MC=CH$

Tương tự $BN=BH$

Ta có $CH^2=AH.BH\Leftrightarrow CM^2=AM.BN$

[phatthemkem]

 
Câu 9: Cho $\Delta ABC$ vuông cân tại A. Từ B trên BC kẻ $PK\perp AC$, $PL\perp AB$. M là trung điểm BC. Lấy I $\epsilon$
 AM sao cho M là trung điểm AI. Chứng minh $IP>KL$
 
 

Chỗ màu đỏ này là sao vậy bạn

[Gemini Shin]

Chỗ màu đỏ này là sao vậy bạn

Sai đề đó. xin lỗi nhé. hình như lúc nhập đề mình đang nghĩ cái gì đó nên sai tùm lum.

[phatthemkem]

 
Câu 9: Cho $\Delta ABC$ vuông cân tại A. Từ P trên BC kẻ $PK\perp AC$, $PL\perp AB$. M là trung điểm BC. Lấy I $\epsilon$
 AM sao cho M là trung điểm AI. Chứng minh $IP>KL$
 
 

Dễ dàng thấy được $AKPL$ là hình chữ nhật nên $LK=AP$

Xét tam giác $API$ có $MP$ vừa là đường cao, vừa là trung tuyến nên tam giác $API$ cân tại $P$

Suy ra $PA=PI=LK$

Chắc là tui giải sai, hay là đề bị sai?

[bachhammer]

Vì phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ có 2 nghiệm dương phân biệt $x_{1}x_{2}$ nên

$\left\{\begin{matrix} b^2> 4ac &  \\ \frac{-b}{a}> 0 & (1) \\ ac> 0 & (2) \end{matrix}\right.$

Lấy $(1)$ nhân $(2)$ vế theo vế, ta được $-bc> 0$ hay $-b$ và $c$ cùng dấu, suy ra $\frac{-b}{c}> 0$

Xét phương trình $cx^{2}+bx+a=0$ có hai nghiệm $x_{3}x_{4}$ có

$\left\{\begin{matrix} \Delta =b^2-4ac> 0 & \\ x_{3}+x_{4}=\frac{-b}{c}> 0 & \\ x_{3}x_{4}=ac> 0& \end{matrix}\right.$

Suy ra $dpcm$

Bài này còn một cách: Chia hai vế của phương trình sau cho x^{2} thì bạn sẽ thấy ngay điều thú vị (nhớ sắp xếp lại hệ số a,b,c). Nó là một biển đổi của phương trình 2 ban đầu.