Chủ đề này có 12 trả lời

[Gemini Shin]

Câu 1: Tính: $M=\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{\frac{5}{12}-\frac{1}{\sqrt{6}}}$

 

Câu 2: Giải phương trình: $5x^{2}+5y^{2}+8xy-2x+2y+2=0$

 

Câu 3: Cho $\large \Delta ABC$ cân tại A. Goi I là giao điểm của các đường phân giác. Biết $\large IA=2\sqrt{5}cm$; IB - 3 cm. Tính AB.

 

Câu 4: Cho $\large \Delta ABC$ cân tại A. Trên đường trung tuyến BD lấy E sao cho $\large \widehat{DAE}=\widehat{ABD}$. Chứng minh: AE=2ED

 

Câu 5: Chứng minh với mọi số tự nhiên n thì phân số $\large \frac{21n+4}{14n+3}$ tối giản.

 

Câu 6: Cho $\large \Delta ABC$ vuông tại A, đường phân giác góc trong tại đỉnh B và đường phân giác góc ngoài tại đỉnh A cắt nhau tại D. Tính $\large \widehat{BDC}$.

 

Câu 7: Một số tự nhiên a được viết bằng 2013 chữ số 9. Tính tổng của các chữ số của số $\large n=a^{2}+1$

 

Câu 8: Cho $\large x\neq y$ & $\large x^{2}+y=x+y^{2}$. Tính giá trị của $\large A=\frac{x^{2}+y^{2}+xy}{xy-1}$

 

Câu 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của: $\large A=x^{2}+2y^{2}+3z^{2}-2xy+2xz-2x-2y-8z=2020$

 

Câu 10: Cho a>0, b>0. Chứng minh: $\large \frac{a\sqrt{b}}{b}-\sqrt{a}\geq \sqrt{b}-\frac{b\sqrt{a}}{a}$

 

Câu 11: Cho $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn (O), từ B và C kẻ 2 tiếp tuyến cắt nhau tại D, cát tuyến DEF song song AB cắt AC tại I. Chứng minh: IE = IF

 

Câu 12: Cho $\Delta ABC$ có $\widehat{BAC}>90^{\circ}$. Đường trung trực d của AC cắt BC tại M. Lấy N bất kì thuộc d. Chứng minh: 2AM < NB + NC

 

Câu 13: Tìm các số nguyên n sao cho n+2004 và n+1945 là các số chính phương.

 

Câu 14: Tìm tất cả các số nguyên k để phương trình: $kx^{2}-(1-2k)x+k-2=0$ luôn có nghiệm hữu tỉ.

 

Câu 15: Cho (O) và đường thẳng d không cắt đường tròn. Kẻ OA vuông góc với d tại A. Từ A vẽ cát tuyến ABC với đường tròn. Hai tiếp tuyến tại B và C cắt d lần lượt tại D và E. Chứng minh AD=AE

[Yagami Raito]

Câu 2: Giải phương trình: $5x^{2}+5y^{2}+8xy-2x+2y+2=0$

$$5x^{2}+5y^{2}+8xy-2x+2y+2=0$$
$\Leftrightarrow (2x+2y)^2+(x-1)^2+(y+1)^2=0$
$\Rightarrow x=1;y=-1$

Câu 5: Chứng minh với mọi số tự nhiên n thì phân số $\large \frac{21n+4}{14n+3}$ tối giản.

Gọi $UCLN(21n+4;14n+3)=d$ $d\epsilon \mathbb{N}$
$\Rightarrow 21n+4\vdots d\Rightarrow 42n+8\vdots d$
và $\Rightarrow 14n+3\vdots d\Rightarrow 42n+9\vdots d$
$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$
Vậy phân số $\frac{21n+4}{14n+3}$ là phân số tối giản

 

.

 

 

Câu 8: Cho $\large x\neq y$ & $\large x^{2}+y=x+y^{2}$. Tính giá trị của $\large A=\frac{x^{2}+y^{2}+xy}{xy-1}$

 

 

 

Từ giả thiết $\Rightarrow (x-y)(x+y)=(x-y)$

$\Rightarrow (x+y)=1$ do $x\neq y$

$\Rightarrow x^2+y^2+xy=1-xy$ $\Rightarrow A=-1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 16-06-2013 - 13:16

[Ha Manh Huu]

câu 7 ta có n= $a^{2}-1+2=(a-1)(a+1) +2=10^{2013}.999..98 +2=999...99800000...0002$(có 2012 cs 9 )

suy ra tổng các chữ số của n =9.2012+8+2=18118

[Yagami Raito]

Another solution

$a^2+1=(a+1)^2-2a=10^2013-2.9999..99=9999..98000..002$ 

[phatthemkem]

Câu 1: Tính: $M=\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{\frac{5}{12}-\frac{1}{\sqrt{6}}}$

$M=\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}{6}+\frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{\frac{5-2\sqrt{6}}{12}}$

$=\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}{6}+\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

[phatthemkem]

 

Câu 10: Cho a>0, b>0. Chứng minh: $\large \frac{a\sqrt{b}}{b}-\sqrt{a}\geq \sqrt{b}-\frac{b\sqrt{a}}{a}$

 

Biến đổi tương đương, ta có

$\frac{a\sqrt{b}}{b}-\sqrt{a}\geq \sqrt{b}-\frac{b\sqrt{a}}{a} \Leftrightarrow \frac{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{b}\geq \frac{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{a}\Rightarrow a\geq b???$

Đề thiếu điều kiện chăng

[phatthemkem]

 

Câu 13: Tìm các số nguyên n sao cho n+2004 và n+1945 là các số chính phương.

Đặt $n+2004=a^2,n+1945=b^2$ $a,b\in \mathbb{N}$

Ta có $n=a^2-2004=b^2-1945$ hay $(a-b)(a+b)=59$

CONTINUE...

[phatthemkem]

 

Câu 14: Tìm tất cả các số nguyên k để phương trình: $kx^{2}-(1-2k)x+k-2=0$ luôn có nghiệm hữu tỉ.

 

 

Ta có $\Delta \geq 0\Leftrightarrow k\geq \frac{-1}{4}$

Pt có nghiệm hữu tỉ khi $\Delta$ là bình phương của một số hữu tỉ

Ta có $\Delta =4k+1=\frac{a^2}{b^2}$ $(a,b\in \mathbb{Z},(a,b)=1)$

Suy ra $k=\frac{a^2-b^2}{4b^2}$

Vậy với $k=\frac{a^2-b^2}{4b^2}$ $(a,b\in \mathbb{Z},(a,b)=1)$ thì pt trên luôn có nghiệm hữu tỉ.

[Gemini Shin]

Biến đổi tương đương, ta có

$\frac{a\sqrt{b}}{b}-\sqrt{a}\geq \sqrt{b}-\frac{b\sqrt{a}}{a} \Leftrightarrow \frac{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{b}\geq \frac{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{a}\Rightarrow a\geq b???$

Đề thiếu điều kiện chăng

ko đâu. đề đủ dk đấy, lúc đầu mình cũng nhầm vậy. bạn thử hướng khác đi. 

[phatthemkem]

 

Câu 10: Cho a>0, b>0. Chứng minh: $\large \frac{a\sqrt{b}}{b}-\sqrt{a}\geq \sqrt{b}-\frac{b\sqrt{a}}{a}$

 

ko đâu. đề đủ dk đấy, lúc đầu mình cũng nhầm vậy. bạn thử hướng khác đi. 

Vậy thì thế này, biến đổi tương đương ta có

$$\frac{a\sqrt{b}}{b}+\frac{b\sqrt{a}}{a}-\sqrt{a}-\sqrt{b}\geq 0$$

$$\Leftrightarrow \frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}-(\sqrt{a}+\sqrt{b})\geq 0$$

$$\Leftrightarrow \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a+b-\sqrt{ab})}{\sqrt{ab}}-(\sqrt{a}+\sqrt{b})\geq 0$$

$$\Leftrightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{b}).\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{\sqrt{ab}}\geq 0 (Right)$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phatthemkem: 18-06-2013 - 15:26

[Gemini Shin]

Vậy thì thế này, biến đổi tương đương ta có

$$\frac{a\sqrt{b}}{b}+\frac{b\sqrt{a}}{a}-\sqrt{a}-\sqrt{b}\geq 0$$

$$\Leftrightarrow \frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}-(\sqrt{a}+\sqrt{b})\geq 0$$

$$\Leftrightarrow \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a+b-\sqrt{ab})}{\sqrt{ab}}-(\sqrt{a}+\sqrt{b})\geq 0$$

$$\Leftrightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{b}).\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{\sqrt{ab}}\geq 0 (Right)$$

Cho mình hỏi: Từ $$\Leftrightarrow \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a+b-\sqrt{ab})}{\sqrt{ab}}-(\sqrt{a}+\sqrt{b})\geq 0$$

 cho ra: $$\Leftrightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{b}).\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{\sqrt{ab}}\geq 0$$

thì làm thế nào nhỉ???  

[phatthemkem]

Cho mình hỏi: Từ $$\Leftrightarrow \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a+b-\sqrt{ab})}{\sqrt{ab}}-(\sqrt{a}+\sqrt{b})\geq 0$$

 cho ra: $$\Leftrightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{b}).\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{\sqrt{ab}}\geq 0$$

thì làm thế nào nhỉ???  

$$\Leftrightarrow \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a+b-\sqrt{ab})}{\sqrt{ab}}-(\sqrt{a}+\sqrt{b})\geq 0$$

$$\Leftrightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{b})(\frac{a+b-\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}-1)\geq 0$$

$$\Leftrightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{b}).\frac{a+b-2\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}\geq 0...$$

[Gemini Shin]

ak. đặt nhân tử chung. ngớ ngẩn thật. ^^