Chủ đề này có 2 trả lời

[VDKAkam]

$\frac{1}{a^{3}(b+c)}$+$\frac{1}{b^{3}(a+c)}$+$\frac{1}{c^{3}(a+b)}$

[Peter97]

$\frac{1}{a^{3}(b+c)}$+$\frac{1}{b^{3}(a+c)}$+$\frac{1}{c^{3}(a+b)}$

Áp dụng Cauchy - Swarch ta có :

$A (a(b + c) + b(a + c) + c(a + b))\geq (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^{2} = (\frac{ab + bc+ ac}{abc})^{2}= (ab + bc+ ac)^{2}$

$\Rightarrow A \geq \frac{(ab+ bc+ ac)^{2}}{2(ab+ bc+ ac)}=\frac{ab+ bc+ ac}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}}{2} = \frac{3}{2}$

 

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Peter97: 17-06-2013 - 23:35

[barcavodich]

Đặt $a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y},c=\frac{1}{z}\rightarrow xyz=1$

Ta có 

$\frac{1}{a^3(b+c)}=\frac{1}{\frac{1}{x^3}(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})}=\frac{x^2}{y+z}$

Tương tự

Ta có

$\sum \frac{1}{a^3(b+c)}=\sum \frac{x^2}{y+z}\geq \frac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}= \frac{x+y+z}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}$