Chủ đề này có 7 trả lời

[Forgive Yourself]

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                                       ĐỀ THI TUYỂN SINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH                                                                 VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN

                                                                                                                        NĂM HỌC 2013 - 2014

    ĐỀ CHÍNH THỨC                                                                                        Môn thi: Toán (Vòng 1)

                                                                                       Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

 

 

 

Câu 1 (2,0 điểm). Tìm hai số nguyên $a$ và $b$ sao cho

                                 $\frac{1}{a-1966}+\frac{1}{b-2013}=1$.

 

Câu 2 (2,5 điểm). Cho phương trình $x^2-2mx+m(m+1)=0$  ($*$).

          a) Tìm $m$ để phương trình ($*$) có hai nghiệm phân biệt.

          b) Tìm $m$ để phương trình ($*$) có nghiệm bé là $x_1$, nghiệm lớn là $x_2$ thỏa mãn điều kiện $x_1+2x_2=0$.

 

Câu 3 (1,5 điểm). Giả sử $x$ và $y$ là các số dương có tổng bằng $1$. Đặt $S=xy+\frac{1}{xy}$.

          a) Tìm giá trị nhỏ nhất của $S$.

          b) Biểu thức $S$ có giá trị lớn nhất hay không? Vì sao?

 

Câu 4 (4,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $AB=6$, $AC=8$, $BC=10$. Gọi $M$, $N$, $P$ tương ứng là chân đường cao, chân đường phân giác, chân đường trung tuyến kẻ từ đỉnh $A$.

          a) Chứng minh rằng, điểm $N$ nằm giữa hai điểm $M$ và $P$.

          b) Tính diện tích các tam giác $ABP$, $ABN$ và $ABM$.

 

--------------------------------- HẾT ---------------------------------

 

  Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!

 

  Họ tên thí sinh: ........................................................................ Số báo danh: ..............................

  Chữ kí của CBCT thứ nhất:                                                                   Chữ kí của CBCT thứ hai:

  ...........................................                                                                    ........................................   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Forgive Yourself: 18-06-2013 - 15:47

[Supermath98]

Câu 2:

a) Ta có $\large \Delta '=m^{2}-m\left ( m+1 \right )=-m$

Để pt có nghiệm phân biệt thì $\large \Delta '> 0\Rightarrow m<0$

b) Vì $\large x_{1}< x_{2}$$\large \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1}=m-\sqrt{-m} & & \\ x_{2}=m+\sqrt{-m} & & \end{matrix}\right.$

Theo bài ra ta phải tìm m thỏa mãn $\large m-\sqrt{-m}+2\left ( m+\sqrt{-m} \right )=0\Leftrightarrow m=\frac{-1}{9}$ (vì m<0)

[DarkBlood]

Câu 1 (2,0 điểm). Tìm hai số nguyên $a$ và $b$ sao cho

                                 $\frac{1}{a-1966}+\frac{1}{b-2013}=1$.

 

Câu 3 (1,5 điểm). Giả sử $x$ và $y$ là các số dương có tổng bằng $1$. Đặt $S=xy+\frac{1}{xy}$.

          a) Tìm giá trị nhỏ nhất của $S$.

          b) Biểu thức $S$ có giá trị nhỏ nhất hay không? Vì sao?

Bài 1: Vì $a,\ b\in \mathbb{Z}$ nên $\dfrac{1}{b-2013}<1$

$\Rightarrow 1-\dfrac{1}{b-2013}>0 \Rightarrow \dfrac{1}{a-1966}>0 \Rightarrow a>1966$

Chứng minh trương tự ta được $b>2013$.

Đặt $a-1966=x,\ b-2013=y,$ suy ra $x,\ y \in\mathbb{Z}^+$

Khi đó $PT\Leftrightarrow \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=1$

$\Leftrightarrow x+y=xy$

$\Leftrightarrow y=\dfrac{x}{x-1}=1+\dfrac{1}{x-1}$

Vì $y\in \mathbb{Z}^+$ nên $x-1=1\ \vee\ x-1=-1 \Leftrightarrow x=2\ \vee\ x=0\ (\text{Loại})$

Từ đó tính được $y=2.$

Thử lại thấy thỏa mãn.

Do đó $a-1966=b-2013=2\Leftrightarrow a=1968\ ;\ b=2015$

 

Bài 2:

$a)$ Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM,$ ta có:

$xy+\dfrac{1}{16xy}\geq \dfrac{1}{2}$

$4xy\leq (x+y)^2=1$

Do đó $xy+\dfrac{1}{xy}=xy+\dfrac{1}{16xy}+\dfrac{15}{16xy}\geq \dfrac{1}{2}+\dfrac{15}{4}=\dfrac{17}{4}$

Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} x+y=1\\ x>0\ ;\ y>0\\ xy=\dfrac{1}{16xy}\\ x=y \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}$

 

$b)$ Theo chứng minh ở câu $a,$ ta có biểu thức $S$ có giá trị nhỏ nhất là $\dfrac{17}{4}$ 

[Supermath98]

 

Bài 1: Vì $a,\ b\in \mathbb{Z}$ nên $\dfrac{1}{b-2013}<1$

$\Rightarrow 1-\dfrac{1}{b-2013}>0 \Rightarrow \dfrac{1}{a-1966}>0 \Rightarrow a>1966$

Chứng minh trương tự ta được $b>2013$.

Đặt $a-1966=x,\ b-2013=y,$ suy ra $x,\ y \in\mathbb{Z}^+$

Khi đó $PT\Leftrightarrow \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=1$

$\Leftrightarrow x+y=xy$

$\Leftrightarrow y=\dfrac{x}{x-1}=1+\dfrac{1}{x-1}$

Vì $y\in \mathbb{Z}^+$ nên $x-1=1\ \vee\ x-1=-1 \Leftrightarrow x=2\ \vee\ x=0\ (\text{Loại})$

Từ đó tính được $y=2.$

Thử lại thấy thỏa mãn.

Do đó $a-1966=b-2013=2\Leftrightarrow a=1968\ ;\ b=2015$

 

xin lỗi! đã sửa! Mình nhầm!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Supermath98: 18-06-2013 - 15:48

[Forgive Yourself]

 

Bài 1: Vì $a,\ b\in \mathbb{Z}$ nên $\dfrac{1}{b-2013}<1$

$\Rightarrow 1-\dfrac{1}{b-2013}>0 \Rightarrow \dfrac{1}{a-1966}>0 \Rightarrow a>1966$

Chứng minh trương tự ta được $b>2013$.

Đặt $a-1966=x,\ b-2013=y,$ suy ra $x,\ y \in\mathbb{Z}^+$

Khi đó $PT\Leftrightarrow \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=1$

$\Leftrightarrow x+y=xy$

$\Leftrightarrow y=\dfrac{x}{x-1}=1+\dfrac{1}{x-1}$

Vì $y\in \mathbb{Z}^+$ nên $x-1=1\ \vee\ x-1=-1 \Leftrightarrow x=2\ \vee\ x=0\ (\text{Loại})$

Từ đó tính được $y=2.$

Thử lại thấy thỏa mãn.

Do đó $a-1966=b-2013=2\Leftrightarrow a=1968\ ;\ b=2015$

 

Bài 2:

$a)$ Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM,$ ta có:

$xy+\dfrac{1}{16xy}\geq \dfrac{1}{2}$

$4xy\leq (x+y)^2=1$

Do đó $xy+\dfrac{1}{xy}=xy+\dfrac{1}{16xy}+\dfrac{15}{16xy}\geq \dfrac{1}{2}+\dfrac{15}{4}=\dfrac{17}{4}$

Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} x+y=1\\ x>0\ ;\ y>0\\ xy=\dfrac{1}{16xy}\\ x=y \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}$

 

$b)$ Theo chứng minh ở câu $a,$ ta có biểu thức $S$ có giá trị nhỏ nhất là $\dfrac{17}{4}$ 

 

 

Xin lỗi bạn, lúc nãy mình post nhầm câu $b$

[Yagami Raito]

 

 

Câu 3 (1,5 điểm). Giả sử $x$ và $y$ là các số dương có tổng bằng $1$. Đặt $S=xy+\frac{1}{xy}$.

          a) Tìm giá trị nhỏ nhất của $S$.

          b) Biểu thức $S$ có giá trị lớn nhất hay không? Vì sao?

 

 

 

 

 

Đây là bài làm của anh

namsub mình trích dẫn cho mọi người xem

 

Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng. Giả sử $xy+\frac{1}{xy}\leq m$ với $m$ là một hằng số xác định.

Ta có $m>\frac{1}{xy}$

Cho $x=\frac{1}{10^{k}}$ với $k\in\mathbb{N}$ $\Rightarrow y=1-\frac{1}{10^{k}}=\frac{10^{k}-1}{10^{k}}$

Lúc đó $m>\frac{1}{xy}=\frac{1}{\frac{1}{10^{k}}.\frac{10^{k}-1}{10^{k}}}=\frac{10^{2k}}{10^{k}-1}>\frac{10^{2k}-1}{10^{k}-1}=10^{k}+1$

Tuy nhiên điều này sẽ không xảy ra do $m$ là hằng số xác định và khi ta cho $k$ đủ lớn thì $10^{k}+1>m$

Vậy biểu thức $xy+\frac{1}{xy}$ không có GTLN

 

 

 

[deathavailable]

 

Bài 1: Vì $a,\ b\in \mathbb{Z}$ nên $\dfrac{1}{b-2013}<1$

$\Rightarrow 1-\dfrac{1}{b-2013}>0 \Rightarrow \dfrac{1}{a-1966}>0 \Rightarrow a>1966$

Chứng minh trương tự ta được $b>2013$.

Đặt $a-1966=x,\ b-2013=y,$ suy ra $x,\ y \in\mathbb{Z}^+$

Khi đó $PT\Leftrightarrow \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=1$

$\Leftrightarrow x+y=xy$

$\Leftrightarrow y=\dfrac{x}{x-1}=1+\dfrac{1}{x-1}$

Vì $y\in \mathbb{Z}^+$ nên $x-1=1\ \vee\ x-1=-1 \Leftrightarrow x=2\ \vee\ x=0\ (\text{Loại})$

Từ đó tính được $y=2.$

Thử lại thấy thỏa mãn.

Do đó $a-1966=b-2013=2\Leftrightarrow a=1968\ ;\ b=2015$

 

Bài 2:

$a)$ Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM,$ ta có:

$xy+\dfrac{1}{16xy}\geq \dfrac{1}{2}$

$4xy\leq (x+y)^2=1$

Do đó $xy+\dfrac{1}{xy}=xy+\dfrac{1}{16xy}+\dfrac{15}{16xy}\geq \dfrac{1}{2}+\dfrac{15}{4}=\dfrac{17}{4}$

Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} x+y=1\\ x>0\ ;\ y>0\\ xy=\dfrac{1}{16xy}\\ x=y \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}$

 

$b)$ Theo chứng minh ở câu $a,$ ta có biểu thức $S$ có giá trị nhỏ nhất là $\dfrac{17}{4}$ 

 

Theo mình thì câu 1 giải đk = phương trình nghiệm nguyên được mà :

 

Phương trình tương đương $(a-1967)(b-2014)=1967$

 

 

$ giải ra cũng ra đk nghiệm như trên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi deathavailable: 18-06-2013 - 23:53

[airisuchan]

Câu 1:

Đặt $a - 1966 = x \epsilon Z; b - 2013 = y \epsilon Z \Rightarrow \frac{1}{y} = \frac{x- 1}{x}$ (*)

Ta có x,y > 1.

Vì $(x - 1,x)= (1,y)= 1$  nên $\frac{1}{y}$ và $\frac{x - 1}{x}$ đều là các phân số tối giản.

Do đó (*) $\Leftrightarrow x - 1 = 1$ và $x = y$ $\Leftrightarrow a = 1968, b = 2015$.

 

Làm hơi ngắn không biết có sai gì không.