Chủ đề này có 1 trả lời

[thienminhdv]

Cho $x,y,z$ là các số thực dương . Tìm min $P=\cfrac{x^2}{z\left ( z^2+x^2 \right )}+\cfrac{y^2}{x\left ( x^2+y^2 \right )}+\cfrac{z^2}{y\left ( y^2+z^2 \right )}+2\left ( x^2+y^2+z^2 \right )$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NLT: 19-06-2013 - 07:42

[ngocduy286]

Cho $x,y,z$ là các số thực dương . Tìm min $P=\cfrac{x^2}{z\left ( z^2+x^2 \right )}+\cfrac{y^2}{x\left ( x^2+y^2 \right )}+\cfrac{z^2}{y\left ( y^2+z^2 \right )}+2\left ( x^2+y^2+z^2 \right )$

Ta có: 

$\cfrac{x^2}{z\left ( z^2+x^2 \right )} = \cfrac{x^2+z^2}{z\left ( z^2+x^2 \right )} - \cfrac{z^2}{z\left ( z^2+x^2 \right )} \geq \frac{1}{z} - \frac{1}{2x}$      (vì $z^2+x^2 \geq 2zx$)

Tương tự ta suy ra:

$ P \geq 2(x^2+y^2+z^2)+ \frac{1}{2x} + \frac{1}{2y} + \frac{1}{2z}$

mà $ 2x^2 + \frac{1}{2x} = 2x^2 + \frac{1}{4x} + \frac{1}{4x} \geq \frac{3}{2}$

$ \Rightarrow P \geq \frac{9}{2}$

vậy $ MinP= \frac{9}{2}$ khi $x=y=z= \frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocduy286: 19-06-2013 - 09:52