CÁC LỚP THCS
Bài T1/432. (Lớp 6) Cho $2013$ số tự nhiên từ $1$ đến $2013$ xếp theo thứ tự tùy ý. Lấy số thứ nhất trừ $1,$ lấy số thứ hai trừ $2,$ lấy số thứ ba trừ $3,$ $\cdots,$ lấy số thứ $2013$ trừ $2013.$ Hỏi tích của $2013$ số mới lập được là số lẻ hay số chẵn?
Bài T2/432. (Lớp 7) Cho tam giác nhọn $ABC$ có điểm $O$ là giao của ba đường trung trực. Tia $AO$ cắt cạnh $BC$ tại $D.$ Trên các cạnh $AB$ và $AC$ lần lượt lấy các điểm $E$ và $F$ sao cho $DE=DB,\ DF=DC.$ Chứng minh rằng $DA$ là tia phân giác của góc $EDF.$
Bài T3/432. Tìm tất cả các số nguyên dương $a, b\ (a\geq 2,\ b\geq 2)$ và $a+b$ là bội của $4$ thỏa mãn $\dfrac{a(a-1)+b(b-1)}{(a+b)(a+b-1)}=\dfrac{1}{2}.$
Bài T4/432. Tìm $x, y$ thỏa mãn
$$\left\{\begin{matrix} x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=2\\ x^3+2y^2\leq y^3+2x. \end{matrix}\right.$$
Bài T5/432. Cho đường tròn tâm $O,$ đường kính $AB.$ Trên đường tròn $(O)$ lấy điểm $C\ (C$ khác $A$ và $B).$ $P$ là điểm thuộc đường kính $AB$ sao cho $BP=AC.$ Kẻ $PH$ vuông góc với $AC$ tại $H.$ Phân giá trong của góc $CAB$ cắt đường tròn $(O)$ tại $E$ và cắt $PH$ tại $F.$ Đường thẳng $CF$ cắt đường tròn $(O)$ ở $N.$ Chứng minh rằng $CN$ đi qua trung điểm của $AP.$
CÁC LỚP THPT
Bài T6/432. Cho $a, b, c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng
$$\left ( \dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{3}{a+b+c} \right )^2+\left ( \dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c+a}+\dfrac{3}{a+b+c} \right )^2+\left ( \dfrac{1}{c}+\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{3}{a+b+c} \right )^2\geq \dfrac{81}{a^2+b^2+c^2}$$
Bài T7/432. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O).$ Đường tròn $(O')$ tiếp xúc với hai cạnh $AB,\ AC$ theo thứ tự tại $P,\ Q$ và tiếp xúc trong với đường tròn $(O)$ tại $S.$ Hai đường thẳng $SP,\ SQ$ cắt lại đường tròn $(O)$ theo thứ tự tại $M,\ N.$ Gọi $E,\ D,\ F$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của $S$ trên các đường thẳng $AM,\ MN,\ NA.$ Chứng minh rằng $DE=DF.$
Bài T8/432. Giả sử $a,\ b,\ c$ là các số thực thỏa mãn điều kiện đa thức
$$P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+1$$
có ít nhất một nghiệm thực. Tìm tất cả các bộ $(a,\ ;\ b,\ ;\ c)$ để $a^2+b^2+c^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.
TIẾN TỚI OLYMPIC TOÁN
Bài T9/432. Cho $a$ và $b$ là hai số thực thỏa mãn $a^p-b^p$ là số nguyên dương với mọi số nguyên tố $p.$ Chứng minh rằng $a$ và $b$ đều là số nguyên.
Bài T10/432. Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi
$$\left\{\begin{matrix} u_1=\dfrac{1}{1+a}\\ \\ \dfrac{1}{u_{n+1}}=\dfrac{1}{u_n^2}-\dfrac{1}{u_n}+1,\ \forall n\geq 1 \end{matrix}\right.$$
trong đó $a\in \mathbb{R},\ a\neq -1.$
Đặt $S_n=u_1+u_2+...+u_n,\ P_n=u_1u_2...u_n.$ Tính giá trị của biểu thức $aS_n+P_n.$
Bài T11/432. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+$ thỏa mãn
$a)$ $f$ là hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}^+;$
$b)$ $f(2x)=2012^{-x}f(x)\ \forall x\in \mathbb{R}^+;$ với $\mathbb{R}^+=(0;\ +\infty).$
Bài T12/432. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O).$ $AD$ là đường kính của $(O).$ $E$ là điểm thuộc tia đối tia $DA.$ Đường thẳng qua $E$ vuông góc với $AD$ cắt $BC$ tại $T.$ Dựng tiếp tuyến $TP$ của $(O)$ sao cho $P$ và $A$ nằm khác phía đối với $BC;$ $AP$ cắt $TE$ tại $Q.$ Gọi $M$ là trung điểm của $AQ;$ $TM$ cắt $AB,\ AC$ lần lượt tại $X,\ Y.$ Chứng minh rằng $M$ là trung điểm của XY.
