Chủ đề này có 3 trả lời

[peach]

Cho (O) và (O') giao nhau tại M và N. AB và CD là tiếp tuyến chung của (O) và (O') trong đó A, C thuộc (O), B,D thuộc (O'). Gọi H,K lần lượt là trực tâm của 2 tam giác ABM và CDM. Chứng minh HK //OO'.

[TMW]

Mình xin trình bày một cách chứng minh như sau:

[TMW]

Lính mới nhiều thiếu sót, mọi người thông cảm   

File gửi kèm

•  Bài chứng minh.doc   76.5K   138 Số lần tải

[thanhdotk14]

Cho (O) và (O') giao nhau tại M và N. AB và CD là tiếp tuyến chung của (O) và (O') trong đó A, C thuộc (O), B,D thuộc (O'). Gọi H,K lần lượt là trực tâm của 2 tam giác ABM và CDM. Chứng minh HK //OO'.

Bài giải:

Gọi $F=HM\cap AB, I=DK\cap MC, J=MN\cap OO', L=CD\cap MK, S=AB\cap CD$. Khi đó ta có:

$AB, CD, OO'$ đồng quy tại $S$

Trước tiên, ta chứng minh: $\widehat{NMH}=\widehat{NMK}$

Dễ dàng thấy: $F, M, J, L, S$ cùng thuộc một đường tròn 

$\Rightarrow \widehat{NMK}=\widehat{OSC}  (a)$

Gọi $E=MN\cap AB$

$\Rightarrow \widehat{HMN}=\widehat{EMF}=\frac{\pi}{2}-\widehat{MEF}=\frac{\pi}{2}-\widehat{CAS}=\widehat{OSA}=\widehat{OSC}  (b)$ (vì $MN\parallel AC$)

Từ $(a), (b)$ ta có: $\widehat{NMK}=\widehat{NMH} (1)$

Tiếp theo, ta chứng minh: $MK=MH$

Áp dụng định lí hàm số sin trong $\Delta MKD$, ta có:

$\frac{MK}{sin\widehat{MDK}}=\frac{MD}{sin\widehat{MKD}}$

$\Rightarrow \frac{MK}{cos\widehat{CMD}}=\frac{MD}{sin\widehat{IKL}}=\frac{MD}{sin\widehat{MCD}}=\frac{CD}{sin \widehat{CMD}}$

$\Rightarrow MK=CD.cot\widehat{CMD} (c)$

Tương tự ta có: $MH=AB.(-cot\widehat{AMB}) (d)$

Lại có: $\widehat{AMB}+\widehat{CMD}=\pi-\widehat{MAB}-\widehat{MBA}+\widehat{MCA}+\widehat{MDB}=\pi$  (vì $MN\parallel AC\parallel BD$)

$\Rightarrow cot\widehat{CMD}=-cot\widehat{AMB} (e)$

Từ $(c), (d), (e)$ ta suy ra: $MH=MK (2)$

Từ $(1), (2)$ ta có: $\Delta MHK$ là tam giác cân tại $M$ có $MN$ là đường phân giác nên đồng thời là đường cao

$\Rightarrow MN\perp HK$

Mà $MN\perp OO'$ nên suy ra: $HK\parallel OO'$