Chủ đề này có 9 trả lời

[hathanh123]

Cho x+y+z=1. Tìm GTNN của $P=\frac{x^{2}\left ( y+z \right )}{yz}+\frac{y^{2}\left ( z+x \right )}{zx}+\frac{z^{2}\left ( y+x \right )}{yx}$

 

[25 minutes]

Cho x+y+z=1. Tìm GTNN của $P=\frac{x^{2}\left ( y+z \right )}{yz}+\frac{y^{2}\left ( z+x \right )}{zx}+\frac{z^{2}\left ( y+x \right )}{yx}$

Dễ thấy $P=\frac{x^2}{y}+\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+\frac{z^2}{y}$

Áp dụng bất đẳng thức B.C.S ta có 

          $P\geqslant \frac{\left [ 2(a+b+c) \right ]^2}{2(a+b+c)}=2(a+b+c)=2$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

[hathanh123]

2) Tìm GTNN của $S=\sum \frac{b}{1+ab}$, biết a,b,c dương thỏa abc =1.

 

3) Cho x,y, z thuộc [0;1] . Tìm GTLN của $P=\left ( 1+xyz \right )\left ( \frac{1}{1+x^{3}}+\frac{1}{1+y^{3}}+\frac{1}{1+z^{3}} \right )$

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hathanh123: 22-06-2013 - 20:52

[DarkBlood]

2) Tìm GTNN của $S=\sum \frac{b}{1+ab}$, biết a,b,c dương thỏa abc =1.

Vì $abc=1$ nên có thể đặt $a=\dfrac{x}{y}\ ;\ b=\dfrac{y}{z}\ ;\ c=\dfrac{z}{x}$

Khi đó $$S=\sum \dfrac{\dfrac{y}{z}}{1+\dfrac{x}{y}\cdot \dfrac{y}{z}}=\sum \dfrac{y}{z+x}$$

Áp dụng bất đẳng thức $Nesbitt,$ ta có: 

$$\sum \dfrac{y}{z+x}\geq \dfrac{3}{2}$$

Vậy $min\ S=\dfrac{3}{2}$ khi $x=y=z\Leftrightarrow a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DarkBlood: 22-06-2013 - 21:14

[SOYA264]

2) Tìm GTNN của $S=\sum \frac{b}{1+ab}$, biết a,b,c dương thỏa abc =1.

 

Vì $abc=1$ và dương nên ta có thể đặt,$a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}$

Biểu thức được viết lại

$S=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}$$\geq \frac{3}{2}$ (Đây là một BĐT quen thuộc)

Vậy minS=$\frac{3}{2}$, đạt được khi $x=y=z=1$

P/S: post chậm sau bạn DarkBlood rồi!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SOYA264: 22-06-2013 - 21:18

[phanquockhanh]

2) Tìm GTNN của $S=\sum \frac{b}{1+ab}$, biết a,b,c dương thỏa abc =1.

 

3) Cho x,y, z thuộc [0;1] . Tìm GTLN của $P=\left ( 1+xyz \right )\left ( \frac{1}{1+x^{3}}+\frac{1}{1+y^{3}}+\frac{1}{1+z^{3}} \right )$

Do a,b,c >0.abc= 1 nên tồn tại x,y,z >0 sao cho:

$b =\frac{x}{y};c=\frac{y}{z};a= \frac{z}{x}$.Khi đó :

$S =\frac{\frac{x}{y}}{\frac{x}{z}+1}+\frac{\frac{y}{z}}{\frac{x}{z}+1}+\frac{\frac{z}{x}}{\frac{y}{x}+1}$

$=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\overset{Nesbit}{\geq }\frac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra $a=b=c =1$

Vậy $min S=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1$

[phanquockhanh]

sao bạn lại biết cách đổi biến như vậy?Dấu hiệu nhận biết cách đặt như thế là gi? mình đặt a=1/x, b=1/y,c=1/z lại ko được?

Nếu đặt $a=\frac{1}{x};b = \frac{1}{y};c=\frac{1}{z}$ thì không thỏa mãn bài toán (Với điều kiện :abc =1).

Thông thường đối với bất đẳng thức với điều kiện : abc =1.  Ta thực hiện đổi biến như trên

--------------------------------------------

P/s:Bạn làm thử một số bài toán sau bằng phương pháp đổi biến trên nhé:

Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn:abc =1.Chứng minh rằng:

$3+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq a+b+c +\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn:abc =1.Chứng minh rằng: $\left ( a-1+\frac{1}{b} \right )\left ( b-1+\frac{1}{c} \right )\left ( c-1+\frac{1}{a} \right )\leq 1$ (IMO -2000)

[hathanh123]

Nếu đặt $a=\frac{1}{x};b = \frac{1}{y};c=\frac{1}{z}$ thì không thỏa mãn bài toán (Với điều kiện :abc =1).

Thông thường đối với bất đẳng thức với điều kiện : abc =1.  Ta thực hiện đổi biến như trên

--------------------------------------------

P/s:Bạn làm thử một số bài toán sau bằng phương pháp đổi biến trên nhé:

4) Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn:abc =1.Chứng minh rằng:

$3+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq a+b+c +\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

5) Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn:abc =1.Chứng minh rằng: $\left ( a-1+\frac{1}{b} \right )\left ( b-1+\frac{1}{c} \right )\left ( c-1+\frac{1}{a} \right )\leq 1$ (IMO -2000)

Cảm ơn các bạn

Cả hai bài đều đặt như bạn.đặt $a=\frac{1}{x};b = \frac{1}{y};c=\frac{1}{z}$

Cả hai  bài đều đưa vế bất đẳng thức :$\left ( x+y-z \right )\left ( y+z-x \right )\left ( z+x-y \right )\leq xyz$ (2)

 

Đặt tiếp x = n + p; y = p + m; z = m + n , Bđt (2)

$ \Leftrightarrow \left ( m+n \right )\left ( n+p \right )\left ( p+m \right )\geq 8mnp$

$\Leftrightarrow m\left ( n-p \right )^{2}+n\left ( p-m \right )^{2}+p\left (m-n \right )^{2}\geq 0$ (lđ)

Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

[SOYA264]

3) Cho x,y, z thuộc [0;1] . Tìm GTLN của $P=\left ( 1+xyz \right )\left ( \frac{1}{1+x^{3}}+\frac{1}{1+y^{3}}+\frac{1}{1+z^{3}} \right )$

Với ĐK x,y,z thuộc [0;1] của bài toán, ta có thể áp dụng BĐT phụ:

$\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\leq \frac{2}{1+ab}$

Ta có:

$\frac{1}{1+x^{3}}+\frac{1}{1+y^{3}}+\frac{1}{1+z^{3}}+\frac{1}{1+xyz}\leq \frac{2}{1+xy\sqrt{xy}}+\frac{2}{1+z^{2}\sqrt{xy}}$$\leq 2.\frac{2}{1+xyz}$

Suy ra: $\frac{1}{1+x^{3}}+\frac{1}{1+y^{3}}+\frac{1}{1+z^{3}}\leq \frac{3}{1+xyz}$

Do đó: $P\leq 3$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$

Vậy maxP=3, đạt được khi $x=y=z=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SOYA264: 23-06-2013 - 11:04

[hathanh123]

Bạn giải hay quá. nhưng giả sử mà $x;y;z\geq 0$ thôi thì max vẫn = 3. nhưng làm kiểu j???

 

Tham khảo cách khác ở đây:http://diendantoanho...hi-thử-đại-học/

 

Bài 6: Cho các số thực dương $a, b, c$ thõa : $c=8ab$.

Tìm GTLN của :$F=\frac{1}{4a+2b+3}+\frac{c}{4bc+3c+2}+\frac{c}{2ac+3c+4}$