Bài 1: Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn: $\sum\frac{1}{x}=1$.
CMR: $\sum\frac{x^2}{x+yz}\geq\frac{x+y+z}{4}$
Bài 2: Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn: $xyz=3$.
CMR: $x^\frac{1}{x}y^\frac{1}{y}z^\frac{1}{z}\leq3^\frac{xy+yz+zx}{9}$
$\sum\frac{x^2}{x+yz}\geq\frac{x+y+z}{4}$
Bắt đầu bởi Mrnhan, 24-06-2013 - 09:40
#2
Đã gửi 24-06-2013 - 09:59
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
1. Ta có $x+yz=x+ \left( \frac 1x+ \frac 1y+ \frac 1z \right)yz= \frac{(x+y)(z+x)}{x}$.Bài 1: Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn: $\sum\frac{1}{x}=1$.
CMR: $\sum\frac{x^2}{x+yz}\geq\frac{x+y+z}{4}$
Bài 2: Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn: $xyz=3$.
CMR: $x^\frac{1}{x}y^\frac{1}{y}z^\frac{1}{z}\leq3^\frac{xy+yz+zx}{9}$
Do đó $\frac{x^2}{x+yz}= \frac{x^3}{(x+y)(z+x)}$.
Áp dụng BDT AM-GM ta có $\frac{x^3}{(x+y)(x+z)}+ \frac{x+y}{8}+ \frac{x+z}{8} \ge \frac 34 x$.
Tương tự cộng lại ta có đpcm.
- ngocduy286, Mrnhan và Ha Manh Huu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#3
Đã gửi 24-06-2013 - 10:56
ngocduy286
-
- Thành viên
-
- 152 Bài viết
Trung sĩ
Bài 1: Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn: $\sum\frac{1}{x}=1$.
CMR: $\sum\frac{x^2}{x+yz}\geq\frac{x+y+z}{4}$
Bài 2: Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn: $xyz=3$.
CMR: $x^\frac{1}{x}y^\frac{1}{y}z^\frac{1}{z}\leq3^\frac{xy+yz+zx}{9}$
Bài 2.
Từ giải thiết ta được bđt tương đương với
$x^\frac{1}{x}y^\frac{1}{y}z^\frac{1}{z} \leq(xyz)^{\frac{1}{3}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{x}lnx+\frac{1}{y}lny+\frac{1}{y}lnz\leq \frac{1}{3}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )(lnx+lny+lnz)$
Giả sử:
$\frac{1}{x}\geq\frac{1}{y}\geq\frac{1}{z}\Leftrightarrow x\leq y\leq z\Leftrightarrow lnx \leq lny \leq lnz$
Theo bất đẳng thức Chebshev cho hai dãy biến thiên ngược nhau ta được đpcm
(bạn có thể chuyển vế biến đổi tương đương)
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
