Chủ đề này có 4 trả lời

[T M]

Bài toán: Cho $x;y;z \in [1;3]$. Chứng minh rằng

 

$$6 \leq \frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y} \leq \frac{26}{3}$$

[25 minutes]

Bài toán: Cho $x;y;z \in [1;3]$. Chứng minh rằng

 

$$6 \leq \frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y} \leq \frac{26}{3}$$

Đặt $T_N=\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}$

Dễ dàng có được $T_N\geqslant \frac{2\sqrt{xy}}{z}+\frac{2\sqrt{yz}}{x}+\frac{2\sqrt{xz}}{y}\geqslant 6$ theo AM-GM

Ta sẽ chứng minh $T_N=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}\leqslant \frac{26}{3}$

Do vai trò của $x,y,z$ là như nhau nên ta có thể giả sử $3\geqslant x\geqslant y\geqslant z\geqslant 1$

Từ đó $(x-y)(y-z)\geqslant 0\Rightarrow xy+yz\geqslant xz+y^2$

Chia cả 2 vế cho $yz$ ta được $\frac{x}{z}+1\geqslant \frac{x}{y}+\frac{y}{z}$

Chia cả 2 vế cho $xy$ ta được $\frac{z}{x}+1 \geqslant \frac{y}{x}+\frac{z}{y}$

Cộng 2 bất đẳng thức trên lại ta được 

            $\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+2\geqslant \frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}$

Cộng 2 vế với $\frac{x}{z}+\frac{z}{x}$ ta được $2(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})+2\geqslant T_N$

Do vậy ta chỉ cần chứng minh $2(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})+2\leqslant \frac{26}{3}\Leftrightarrow \frac{x}{z}+\frac{z}{x}\leqslant \frac{10}{3}$

Quy đồng ta được $(\frac{x}{z}-3)(\frac{x}{z}-\frac{1}{3})\leqslant 0$

Nhưng bất đẳng thức trên luôn đúng do $x,z \in \left [ 1;3 \right ]\Rightarrow \frac{x}{z} \in \left [ \frac{1}{3};3 \right ]$

Kết thúc chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $(x,y,z)=(3,3,1)$ và hoán vị

[T M]

Một bài tương tự Dạng này

 

Bài toán: Cho số thực $a;b;c \in \left [ \frac{1}{2};2 \right ]$. Chứng minh rằng

 

$$\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right ) \leq \frac{225}{16}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi T M: 24-06-2013 - 15:39

[dark templar]

Một bài tương tự Dạng này

 

Bài toán: Cho số thực $a;b;c \in \left [ \frac{1}{2};2 \right ]$. Chứng minh rằng

 

$$\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right ) \leq \frac{225}{16}$$

Tổng quát:

Cho $n$ số thực $a_{i}(i=\overline{1,n})$ thỏa $a_{i} \in \left[a;\frac{1}{a} \right]$ với $0<a<1$ và $t_1+t_2+...+t_n=1(t_{i}>0;\forall i=1,2,...,n)$.Chứng minh:

$$\left(t_1a_1+t_2a_2+...+t_na_n \right)\left(\frac{t_1}{a_1}+\frac{t_2}{a_2}+...+\frac{t_n}{a_n} \right) \le \frac{1}{4}\left(a+\frac{1}{a} \right)^2$$

[Mrnhan]

Bài toán: Cho $x;y;z \in [1;3]$. Chứng minh rằng

 

$$6 \leq \frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y} \leq \frac{26}{3}$$

CK:"hơi dài"

Không mất tính tổng quát, giả sử: $x\geq y\geq z$

Xét hàm: $f(x)=(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})x+\frac{y+z}{x}+\frac{y^2+z^2}{yz}$ với $y\leq x\leq3$

Ta có: $f'(x)>\frac{(y+z)(x^2-yz)}{x^2yz}>0\to f(x)\leq f(3)$

Tiếp tục xét: $P(z)=f(3)=(\frac{1}{3}+\frac{1}{y})z+\frac{3+y}{z}+\frac{9+y^2}{3y}$, với $1\leq z\leq y$

Ta có: $P'(z)=\frac{(y+3)(z^2-3y)}{3yz^2}<0\to P(z)\leq P(1)=\frac{4(y-1)(y-3)}{3y}+\frac{26}{3}\leq \frac{26}{3}$

Vế còn lại dùng AM-GM là được...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr nhan: 24-06-2013 - 21:18