megakill1994

Cho a, b, c là 3 số thực thuộc đoạn $[\frac{1}{3};3]$. Tìm GTLN của biểu thức:

$P=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$

Không mất tính tổng quát. Giả sử $a\geq b\geq c\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{b}{a}\leq 1 & & \\ \frac{c}{b}\leq 1 & & \end{matrix}\right.$

Ta có: $P=\frac{1}{1+\frac{b}{a}}+\frac{1}{1+\frac{c}{b}}+\frac{1}{1+\frac{a}{c}}\leq \frac{2}{1+\sqrt{\frac{c}{a}}}+\frac{1}{1+\frac{a}{c}}$

Đặt: $t=\sqrt{\frac{c}{a}}\Rightarrow \frac{1}{3}\leq t\leq 1$

Khi đó: $P\leqslant \frac{t^3+3t^2+2}{t^3+t^2+t+1}=f(t)$

$f'(t)=\frac{-2(x-1)^2(x^2+x+1)}{(x^3+x^2+x+1)^2}\leqslant 0 \forall t[\frac{1}{3},1]$

$\Rightarrow P_{max}= f(\frac{1}{3})=\frac{8}{5}$

Dấu "=" xảy ra khi: $\frac{b}{a}=\frac{c}{b}=\frac{1}{3}\Rightarrow a=3;b=1;c=\frac{1}{3}$

Hoặc $\frac{b}{a}=\frac{a}{c}=\frac{1}{3}\Rightarrow a=1;b=\frac{1}{3};c=3$

Hoặc $\frac{a}{c}=\frac{c}{b}=\frac{1}{3}\Rightarrow a=\frac{1}{3};b=3;c=1$

nếu $(\frac{1}{\sqrt{x}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{y}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{z}}-1)^2> 2$

thì  $(\frac{1}{\sqrt{x}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{y}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{z}}-1)^2+\frac{3}{2}(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}) -3$

$>2+ \frac{3}{2}(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}) -3$

$=\frac{3}{2}(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}) -1$.

Số $0$ hay số $2$ hay sô bao nhiêu cũng thế thôi,cũng chỉ là cộng vào mà thôi

Điều đó thì theo mình $P\geqslant A^2+a\Rightarrow P\geqslant a$ thì hoàn toàn đúng. Nhưng ví dụ như giá trị nhỏ nhất của biểu thức là P=4+2. Mà ta lại tính ra P=2. Thì khi xác định các điểm mà tại đó đẳng thức xảy ra sẽ không đúng phải không? Ý mình là đẳng thức nó sẽ không xảy ra khi $A^2\geqslant 0(A\neq 0)$.thì bài làm của chúng ta không hoàn toàn đúng phải không Đây không phải là soi mói bài làm của bạn, mình chỉ muốn hiểu rõ vấn đề thôi

Đấy,đây chính là kinh nghiệm

Kinh nghiệm phải do chính bạn tìm ra trong quá trình học tập thì nó mới bền vững được.

Cách đây 1 năm mình cũng giống như bạn bây giờ thôi.Nên bạn cứ yên tâm một điều là nếu bạn yêu thích và tiếp xúc với bất đẳng thức mỗi ngày thì bạn sẽ học tốt dần lên thôi.

Bạn không thấy trong những bài toán mình đã làm bên trên chứa biết bao là kinh nghiệm sao?

Nhiệm vụ của bạn là ghi chép những kinh nghiệm đó vào một cuốn sổ.Mỗi ngày ghi một vài kinh  nghiệm,dần dần bạn sẽ có cả một kho tàng kinh nghiệm.Hehe

 

Cảm ơn bạn: 
bạn có thể hướng dẫn mình cách làm của một số bài này nữa không?

Bài 1: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn $6(a^2+b^2)+20ab=5(a+b)(ab+3)$

TÌm Min:  $P=9(\frac{a^4}{b^4}+\frac{b^4}{a^4})-16(\frac{a^3}{b^3}+\frac{b^3}{c^3})+25(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2})$

Bài 2: cho các số thưc dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+1}}-\frac{2}{(a+1)(b+1)(c+1)}$

Giải HPT sau :

$\left\{\begin{matrix} 2^{\frac{1-x^2}{x^2}}+xy+\frac{3}{2}=2^y & \\ (x^2y+2x)^2-2x^2y-4x+1=0 & \end{matrix}\right.$

@Mod: chú ý cách đặt tiêu đề

Bài 1: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: x²+y²+6z²=4z(x+y)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x^3}{y(x+z)^2}+\frac{y^3}{x(y+z)^2}+\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}$

Bài 2: Cho các số thực x,y thỏa mãn (x²+y²+1)²+3x²y²+1=4x²+5y²

^{Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức} $P=\frac{x^2+2y^2-3x^2y^2}{x^2+y^2+1}$

Bài 3: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn ab+a+b=3

Chứng minh rằng: $\frac{3a}{b+1}+\frac{3b}{a+1}+\frac{ab}{a+b}\leq a^2+b^2+\frac{3}{2}$

Bài 4: Cho a, b, c là độ dài các cạnh tam giác có chu vi bằng 3.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{(a+b-c)^3}{2c}+\frac{(b+c-a)^3}{2a}+\frac{(c+a-b)^3}{2b}$

 

@Mod: Chú ý cách đặt tiêu đề

Bài 1: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: x²+y²+6z²=4z(x+y)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x^3}{y(x+z)^2}+\frac{y^3}{x(y+z)^2}+\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}$

Bài 2: Cho các số thực x,y thỏa mãn (x²+y²+1)²+3x²y²+1=4x²+5y²

^{Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức} $P=\frac{x^2+2y^2-3x^2y^2}{x^2+y^2+1}$

Bài 3: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn ab+a+b=3

Chứng minh rằng: $\frac{3a}{b+1}+\frac{3b}{a+1}+\frac{ab}{a+b}\leq a^2+b^2+\frac{3}{2}$

Bài 4: Cho a, b, c là độ dài các cạnh tam giác có chu vi bằng 3.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{(a+b-c)^3}{2c}+\frac{(b+c-a)^3}{2a}+\frac{(c+a-b)^3}{2b}$

 Giải hệ phương trình sau :

 $\left\{\begin{matrix} x^2+2\sqrt{x^2+12}=4x+4y-8 & & \\ x^2+y^2-xy=3x+1 & & \end{matrix}\right.$

 

@Mod : chú ý cách đặt tiêu đề

$\left\{\begin{matrix} 2x+\sqrt{2-x+y-x^{2}-y^{2}}=1 & \\ 2x^{3}=2y^{3}+1& \end{matrix}\right.$

Bạn hãy đặt tiêu đề rõ ràng bằng Latex, không nên đặt là: ... đây, giúp ... với, một bài ... hay, ...