NguyenA1

Mọi người thử xem cách này nha:
dễ thấy:
$C_{p}^{k}\;\;\vdots\;\; p$ Với mọi $p$ nguyên tố. $(1)$

Theo khai triển Newton ta có:

$A=\left ( a+b \right )^{p}-a^{p}-b^{p}$
$=C_{p}^{1}a^{p-1}b + C_{p}^{2}a^{p-2}b^{2}+...+C_{p}^{p-1}ab^{p-1}$.

Xét dãy $\left \{ x_{n} \right \}$ :
$x_{1}= C_{p}^{1};\;\;x_{2}= C_{p}^{2} - C_{p}^{1}$,
$x_{n}= C_{p}^{n} - x_{n-1}- x_{n-2}$.

Với chú ý rằng: $C_{p}^{k} = C_{p}^{p-k}$ Ta chứng minh được;
$x_{1}= x_{p-3};\;\;x_{k}= x_{p-k-2}$.
Mặt khác từ $(1)$ suy ra: $x_{n}\;\;\vdots\;\; p;\forall n\;\;(2)$

Ta lại có:
A = $x_{1}\left ( a^{p-1}b+a^{p-2}b^{2}+a^{p-3}b^{3} \right )$
$+ x_{2}\left ( a^{p-2}b^{2}+a^{p-3}b^{3}+a^{p-4}b^{4} \right )$
$+...+ x_{k}\left ( a^{p-k}b^{k}+a^{p-k-1}b^{k+1}+a^{p-k-2}b^{k+2} \right )$
$+...+ x_{p-3}\left ( a^{3}b^{p-3}+a^{2}b^{p-2}+ab^{p-1} \right )$

Mặt khác ta có:
$a^{p-k}b^{k}+a^{p-k-1}b^{k+1}+a^{p-k-2}b^{k+2}$
$= a^{p-k-2}b^{k}\left ( a^{2}+ab+b^{2} \right )$
$\vdots p$

Từ $(2)$ và $(3)$ suy ra : A$\vdots p^{2}$.ĐPCM.

Dãy $\left \{ x_{n} \right \}$ là một dãy có nhiều tính chất đặc biệt.Hôm sau có thời gian mình sẽ post cho mọi người cùng xem.