Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có $a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc}$ (1)
Vậy bất đẳng thức sẽ đúng nếu ta chứng minh được rằng $(1+a)(1+b)(1+c) \geq (1+\frac{a+b+c}{3})^3$
Hay $27(1+a)(1+b)(1+c) \geq (3+a+b+c)^3$ (2)
Theo hệ quả của bất đẳng thức (1) thì bất dẳng thức (2) luôn đúng khi ta lập phương 2 vế và áp dụng cho $a=1+a,b=1+b,c=1+c$
Suy ra đpcm
Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$
Bất đẳng thức bị ngược dấu bạn nhé!