phantomladyvskaitokid

$(a+b)^2> (a-b)^2 \Rightarrow |a+b| > |a-b| \Rightarrow |a+b|.|a-b| \geq |a-b|^2 \Rightarrow |a^2-b^2| \geq (a-b)^2$

Cho $\Delta ABC$ vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. D thuộc AC sao cho $AD=\frac{1}{3}AC$. Qua M kẻ đương thẳng vuông góc với BD cắt BD tại H. Chứng minh HC là phân giác $\widehat{MHD}$

kéo dài MH cắt AB tại E

đặt AD=a ta tính đc

$BM=\frac{3\sqrt{2}}{2a}$

$BD=\sqrt{10}a$

$BH=\frac{3\sqrt{10}}{5}a$

$HM=\frac{3\sqrt{10}}{10}a$

AE=a mà tg EHDA nt => HA là p/g ^EHD

tg BHM đồng dạng tg CHA => AH vuông góc vs HC

vậy HC là p/g góc MHD

cho hình vuông ABCD cạnh a, E thuộc AB.ĐƯờng thẳng CE cắt đường thẳng AD tại I . đường thẳng vuông góc với CI tại C cắt đường thẳng AB tại K .
a ) CM : tứ giác ACKI là tứ giác nội tiếp
b) CI=CK
c) vẽ EM vuông góc với IK ( M thuộc Ik ) CMR :E thay đổi trên AB thì M luôn được 1 đường thẳng cố định ?
d) tính S tam giác ACI theo a và x = EA

IC=CK, IC vuông góc vs CK $\Rightarrow$ $\Delta ICK$ vuông cân ở C $\Rightarrow \Delta IME$vuông cân ở M $\Rightarrow$ IM=ME

tg IMEA nội tiếp có IM=ME $\Rightarrow$ AM là p/g $\angle IAB \Rightarrow \angle MAB =45^{\circ}$
P/S : tam giác là /Delta nhé bạn còn suy ra là \Rightarrow các CT đó kẹp giữa 2 dấu đôla ($công thức$) sẽ hiện ra

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=12$. CMR: trong 3 pt sau có 1 pt vô nghiệm và1 pt có nghiệm:
$x^{2}+ax+b=0 (1); x^{2}+bx+c=0(2); x^{2}+cx+a=0 (3)$

$\Delta _1 =a^2-4b$

$\Delta _2 =b^2-4c$

$\Delta _3 =c^2-4a$

Gs $a=max\left \{ a, b, c \right \}$

* $a>b>c \Rightarrow \Delta _1 >0, \Delta _3 <0$

*$a>c>b \Rightarrow \Delta _1 >0, \Delta _2 <0$

Tìm GTNN của: $y=3\sqrt{x-1}+4\sqrt{5-x}$ với $1\leq x\leq 5$

$y \geq 3(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}) \geq 3\sqrt{x-1+5-x} =6$

$"=" \Leftrightarrow x=5$

Anh Hân giải dùm bai BĐT đi

$\sqrt{x}=a, \sqrt{y}=b$

$(0 \leq a,b \leq \frac{\sqrt{2}}{2} )$

can c/m $\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{a^2+1} \leq \frac{2\sqrt{2}}{3}$

ta co $\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{a^2+1} =\frac{a^3+b^3+a+b}{(a^2+1)(b^2+1)}$

$a^3 \leq \frac{\sqrt{2}}{2} a^2$

$b^3 \leq \frac{\sqrt{2}}{2} b^2$

$(a-\frac{\sqrt{2}}{2})(b-\frac{\sqrt{2}}{2}) \geq 0 \Rightarrow a+b \leq \sqrt{2}ab+\frac{\sqrt{2}}{2}$

$a^2b^2+\frac{1}{4} \geq ab$

$a^2+b^2 \geq 2ab$

tu cac dieu tren => dpcm

Cho các số thực $a, b, c$ . Chứng minh bất đẳng thức : $$\dfrac{1 + a^2b^2}{(a - b)^2} + \dfrac{1 + b^2c^2}{(b - c)^2} + \dfrac{1 + c^2a^2}{(c - a)^2} \ge \dfrac{3}{2}$$

dùng 2 đẳng thức $\frac{1+ab}{a-b}.\frac{1+bc}{b-c}+\frac{1+bc}{b-c}.\frac{1+ca}{c-a}+\frac{1+ca}{c-a}.\frac{1+ab}{a-b}=1$ $$\frac{1-ab}{a-b}.\frac{1-bc}{b-c}+\frac{1-bc}{b-c}.\frac{1-ca}{c-a}+\frac{1-ca}{c-a}.\frac{1-ab}{a-b}=-1$$