tson1997

1.Cho dãy $u_{1}=2$ $u_{n}=3u_{n-1}+2{n^{3}}-9n^{^{2}}+9n-3$. Chứng minh với mỗi số nguyên tố p thì $2009\sum_{i=1}^{p-1}{u_{i}}$ chia hết cho p.

2.Cho dãy $x_{0}=1$ $x_{1}=\frac{1}{2}$ $x_{n+2}=\frac{x_{n+1}x_{n}}{2002x_{n+1}+2001x_{n}+2000x_{n+1}x_{n}}$. Hãy tìm công thức tổng quát của $x_{n}$.

 

1/ Xét dãy $v_{n}= u_{n}+n^3$ mọi n =1,2,...

Từ giả thiết suy ra $v_{1}=3$ và $v_{n+1}=3v_{n}$

Từ đó suy ra $v_{n}= 3^{n-1}.v_{1}=3^n$

suy ra $u_{n} = 3^{n}-n^3 $

suy ra $2009\sum_{i=1}^{p-1}{u_{i}} = 2009.(\frac{3}{2}.(3^{p-1}-1)-\frac{p^2(p-1)^2}{4})$

 

Với p khác 2;3 thì theo định lý Fermat nhỏ suy ra đpcm

Nếu p=2;3 dễ có nhận xét đúng

Vậy ta có đpcm

2/Đặt $v_{n}=\frac{1}{u_{n}}$ thì :

$v_{n+2}= 2000+ 2001.v_{n+1}+2002.v_{n}$

Xét $w_{n}= v_{n}+\frac{1000}{2001}$ thì: $w_{n+2}=2001w_{n+1}+2002w_{n}$ 

 

Từ đây suy ra CTTQ của ${w_{n}}$ -> v(n) -> u(n)

Xét chiều dương là chiều ngược kim đồng hồ,với phép quay véc-tơ 45 độ Q, Ta có:

 

$Q(\vec{MP})= Q(\vec{MB}+\vec{BP}) = Q(\vec{MB})+ Q(\vec{BP}) = \frac{\sqrt{2}}{2}.(\vec{AB}+\vec{BC}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \vec{AC} $

 

CMTT ta có $Q(\vec{QN} = \frac{\sqrt{2}}{2}.\vec{AC} $

 

Từ đó suy ra $Q(\vec{MP})=Q(\vec{QN})$ suy ra $\vec{MP}=\vec{QN}$ hay MNPQ là hình bình hành

Ta có 1 bổ đề quen thuộc sau: (Nêu,k chứng minh) 

"Với tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O) và điểm D thuộc đường tròn,ta có đường thẳng Sim-sơn của D với tam giác ABC đi qua trung điểm đoạn thẳng DH" (H là trực tâm tam giác ABC)

 

Áp dụng bổ đề,gọi H là trực tâm tam giác ABC,$H_1;H_2;H_3$ lần lượt là trực tâm các tam giác DBC;DCA;DAB.Ta có theo bổ đề thì $d_D$ đi qua trung điểm đoạn DH và $d_A$ đi qua trung điểm đoạn $AH_1$.Mặt khác dễ dàng chứng minh rằng $AH// DH_1$ và $AH=DH_1$ (do tính đối xứng của các tâm đường tròn (ABC) và $(H_1BC)$) suy ra trung điểm DH và trung điểm $AH_1$ là trùng nhau hay dA đi qua trung điểm DH

 

Tg tự ta có dB;dC cũng đi qua trung điểm DH( đpcm)

Em ngại khâu vẽ hình quá,bác nào vẽ hộ em nhá

Trước hết ta phát biểu không chứng minh 1 bổ đề quen thuộc:

"Tập hợp các điểm M thỏa mãn hệ thức $\frac{MN}{MP} = \frac{AB}{AC}$ là đường đối trung đinh A của tam giác ABC " (N;P là hình chiếu của M lên AB;AC)

 

Trở lại với bài toán:

 

Gọi I là giao điểm của đường thẳng vuông góc với OM tại M và đường thẳng vuông góc với ON tại N.

Hiển nhiên rằng IM // AB (cùng vuông góc OM);IN// AC (cùng vuông góc ON).

Từ điều này suy ra rằng :

 

$ (\vec{MI};\vec{MP}) \equiv (\vec{BA};\vec{BM}) \equiv (\vec{AM};\vec{AB}) \equiv (\vec{MN};\vec{MI}) (mod 360^{o}) $

 

suy ra MI là phân giác trong góc M của tam giác MNP.

 

CMTT suy ra NI là phân giác trong góc N của tam giác MNP

suy ra I là tâm nội tiếp tam giác ABC

 

Mặt khác,hạ IX;MU vuông góc AB; IY;NV vuông góc AC thì theo tính chất song song ta có:

MU=IX; NV=IY

 

suy ra : $\frac{IX}{IY} = \frac{MU}{NV} = \frac{AB}{AC}$ (do tam giác MAB đồng dạng tam giác NAC)

 

Theo bổ đề suy ra I thuộc AS hay ta có đpcm

Thực ra thì có thể trình bày bài số dưới phương diện khác (thực chất là nhồi cả chứng minh bổ đề )
Dễ thấy $a_i$ không chia hết cho 47 với mọi i chạy từ 0 đến 46 (cái này mà làm vào bài là mất 3 dòng hơn )
Ta có :

$a_{2i-1}a_{2i} \equiv -a_{46-2i}$ $a_{47-2i}$ $(mod 47)$ với mọi i chạy từ 1 đến 23

Nhân theo vế tất cả các phương trình đồng dư,rút gọn suy ra :

$a_{46} \equiv -a_0 (mod 47) $ hay ta có đpcm