hillber121

Câu III:
b) Chứng minh rằng với các số không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Ta có bất đẳng thức $$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ac$$

Xin chém bài này
$a+b+c=3 \Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}=9-2(ab-bc-ac)$
Ta có : $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ac
\Leftrightarrow 9-2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\leq 9-2(ab+bc+ac)
\Leftrightarrow 9-2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}
\Leftrightarrow (a+b+c)^{2}\geq 9 - 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+2(ab+bc+ac)$
Ta có : $a+1+b+1+c+1 \geq 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})
\Leftrightarrow 6\geq 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$ (1)
Ta còn có : $2(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 2(ab+ac+bc)
\Leftrightarrow 18\geq 6(ab+ac+bc)
\Leftrightarrow 3\geq ab+ac+bc$ (2)
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có dpcm là đúng