lordsky216

BTC cho em bổ sung chỗ này phần kết luận với ạ. Hôm trước em viết thiếu :
$\alpha = arc sin \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$
p/s: Nếu mà k thiếu thì thôi ạ

Giải phương trình
$$(1+\sqrt{3})sin \left (2x + \frac{\pi}{4}\right )=2\sqrt{2} \left [cos \left (x-\frac{\pi}{3}\right )-sin^{2}x \right ]$$

Toán thủ ra đề
nguyenhang28091996

Lordsky 216 xin giải đề :
$$PT\Leftrightarrow (1+\sqrt{3})(sin2x + cos 2x)=4 [\frac{1}{2}cosx+\frac{\sqrt{3}}{2}sinx -\frac{1-cos2x}{2}]$$
$$\Leftrightarrow (1+\sqrt{3})sin2x+(1+\sqrt{3})cos2x=2cosx+2\sqrt{3}sinx -2 +2cos2x$$
$$\Leftrightarrow (1+\sqrt{3})sin2x+(\sqrt{3}-1)cos2x=2cosx+2\sqrt{3}sinx -2$$
$$\Leftrightarrow (2-cos2x+\sqrt{3}sin2x)+sin2x+\sqrt{3}cos2x=2(cosx+\sqrt{3}sinx)$$
$$\Leftrightarrow (3sin^2x+2\sqrt{3}sinxcosx+cos^2x)+ 2 sinx cosx+\sqrt{3}cos^2x-\sqrt{3}sin^2x=2(cosx +\sqrt{3}sinx)$$
$$\Leftrightarrow (\sqrt{3}sinx+cosx)^2-2(\sqrt{3}sinx+cosx)+\sqrt{3}cos^2x-3\sqrt{3}sin^2x+2sinx(\sqrt{3}sinx+cosx)=0$$
$$\Leftrightarrow (\sqrt{3}sinx+cosx)^2-2(\sqrt{3}sinx+cosx)+\sqrt{3}(cosx-\sqrt{3}sinx)(\sqrt{3}sinx+cosx)+2sinx(\sqrt{3}sinx+cosx)=0$$
$$\Leftrightarrow (\sqrt{3}sinx+cosx)(\sqrt{3}sinx+cosx-2+\sqrt{3}cosx-3sinx+2sinx)=0$$
$$\begin{bmatrix}
\sqrt{3}sinx+cosx=0 (1) & \\ \sqrt{3}sinx-sinx+cosx+\sqrt{3}cosx-2=0(2)
&
\end{bmatrix}$$


Xét
$$(1)\Leftrightarrow sin(x+\frac{\Pi}{6} )=0
\Leftrightarrow x+\frac{\Pi}{6}=k\Pi(k \in \mathbb{Z})\Leftrightarrow x=\frac{-\Pi}{6}+k\Pi$$

Xét

$$(2)\Leftrightarrow (\sqrt{3}-1)sinx+(\sqrt{3}+1)cosx=2$$
$$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}sinx+\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}cosx=\frac{\sqrt{2}}{2}$$
GỌi $cos\alpha =\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$, $ sin\alpha =\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$

CÓ:
$$(2)\Leftrightarrow sinx.cos\alpha +cosx.sin\alpha =\frac{\sqrt{2}}2{}$$

$$\Leftrightarrow sin(x+\alpha )=\frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$ \Leftrightarrow \begin{bmatrix}
x+\alpha =\frac{\Pi}{4}+k2\Pi & \\ x+\alpha=\frac{3\Pi}{4} +k2\Pi
&
\end{bmatrix}$$


Vậy $\begin{bmatrix}
x=\frac{-\pi}{6}+k\pi & \\ x=-\alpha +\frac{3\Pi}{4}+k2\Pi
& \\ x=-\alpha +\frac{\pi}{4}+k2\pi
&
\end{bmatrix}$

$$\boxed{\boxed{Điểm: 9}}$$
Toán thủ này đã bị loại từ vòng 1

Cách #:
Ta có: $A=x^4 + (3-x)^4 + 6x^2(3-x)^2$
$\rightarrow A = (x^2)^2 + 2x^2(3-x)^2 + (3-x)^4 + 4x^2(3-x)^2$
$\rightarrow A = (x^2 + (3 - x)^2)^2 + 4x^2(3-x)^2$
Ta thấy:
+) $x^2 + (3-x)^2 \ge 5 \rightarrow (x^2 + (3-x)^2)^2 \ge 25$ (1)
+) $(x+3-x)^2=9= x^2+2x(3-x)+(3-x)^2 $. Mà $x^2+(3-x)^2 \ge 5 \rightarrow 2x(3-x) \ge 4 \rightarrow 4x^2(3-x)^2 \ge 16$ (2)
Từ (1) và (2) $\rightarrow A \ge 25+16=41$
P.s: Sai ở chỗ $\ge 4$ phải không ạ? Mọi người cho em ý kiến với, nếu sai thì em delete luôn ^^

$4x^{2}(3-x)^{2}$ có thể $= 0$ nên $4x^{2}(3-x)^{2}$ $\geq 16$ là sai rồi bạn ạ

Bài 5: (1 điểm)
Số thực $x$ thay đổi và thỏa mãn điều kiện: $x^2+(3-x)^2\geq 5$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A=x^4+(3-x)^4+6x^2(3-x)^2$.

Đặt y=3-x. Ta có: $x^{2}+y^{2}+2xy=9$

$x^{2}+y^{2}\geq 5$

$\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}+4xy\left ( x^{2}+y^{2} \right )+4x^{2}y^{2}=81$

$\Rightarrow P+4xy(x^{2}+y^{2})=81\Rightarrow P=81-4xy(x^{2}+y^{2})$

$\Rightarrow P=81-2\left [ 9-\left ( x^{2}+y^{2} \right ) \right ]\left ( x^{2}+y^{2} \right )$

$=81-18\left ( x^{2}+y^{2} \right )+2\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}$

$=2\left ( x^{2}+y^{2}-5 \right )^{2}+2\left ( x^{2}+y^{2}-5 \right )+41\geq 41$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=1 \\ x=2 \end{bmatrix}$

Tìm các giá trị của m để phương trình $x^{2}+mx-m-1=0$ có ít nhất 1 nghiệm không dương

Ta có:$\Delta =m^{2}+4m+4\geq 0$
$\Rightarrow$ pt luôn có 2 nghiệm
Pt có ít nhất 1 nghiệm không dương$\Leftrightarrow$nghiệm nhỏ luôn không dương
$\Leftrightarrow \frac{-m-\sqrt{m^{2}+4m+4}}{2}\leq 0$
Giải bpt ta được $m\geq -1$