caophonghoang

Bài 1 ngày một là một bài toán cơ bản về cấp số. 

Đề xuất cách giải của bài 2 ngày 1:

Đặt $ab=x$ $bc=y$ $ca=z$

Điều kiện biến thành: $x+y+z=1$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$\sum \frac{1}{^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}}\geq \frac{9}{2\sqrt{2}-3\sqrt{6xyz}}$

Dùng Cauchy Swarzt, ta sẽ chứng minh bất đẳng thức chặt hơn:

$\sum \sqrt{x^{2}+y^{2}}+3\sqrt{6xyz}\leq 2\sqrt{2}$

Ta có nhận xét sau:

$\sqrt{2x^{2}+2y^{2}}\leq 2(x+y)-2\sqrt{xy}$

Công vế với vế ta có bất đẳng thức cần chứng minh cuối cùng là:

$\sum \sqrt{xy}\geq 3\sqrt{3xyz}$

$\sum \frac{1}{\sqrt{x}}\geq 3\sqrt{3}$

Ta có:

$\sum \frac{1}{\sqrt{x}}\geq \frac{9}{\sum \sqrt{x}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{x+y+z}}= 3\sqrt{3}$

Kết thúc chứng minh

mấy bài này post sang bên Olympic nhé

Biến đổi:

$\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{a+b+c}$ 

Thành:

$\frac{3abc}{a+b}+c}+\sum (a^{2}-ab)$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$\sum (\frac{a^{4}}{a^{2}+ab+b^{2}}-a^2+ab)\geq \frac{3abc}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Chú ý:

$\sum (\frac{a^{4}}{a^{2}+ab+b^{2}}-a^2+ab)= \sum \frac{ab^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}=\sum \frac{b^{2}}{1+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3+\sum (\frac{a}{b}+\frac{b}{a})}\geq \frac{3abc}{a+b}+c}$ 

Kết thúc bài toán

Cho $a , b , c \geq 0$ thỏa mãn $a + b = c\left(a^{2} + b^{2}\right)$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
$\frac{1}{\left( 1 + a \right)^{2}} + \frac{1}{\left( 1 + b \right)^{2}} + \frac{1}{\left( c + a \right)^{2}} + \frac{4}{\left( 1 + a \right)\left(1 + b \right)\left( 1 + c \right)}$.

Bài này là bài thách đấu trong toán học tuổi thơ lâu rồi nhưng mà mình tìm ở bao nhiêu hiệu sách cũng không thấy số báo có lời giải bài này (nếu không nhầm là ở số $81 + 82$)
Cho
$a,b,c \geq 0$ và $a+b+c=1$
Tìm giá trị lớn nhất của:
$\text{A} = a(b - c)^{4} + b(a - c)^{4} + c(a - b)^{4}$

Bài 1 thì mình giải thế này:
Đặt $\frac{a}{b}=c, \frac{b}{c}=y, \frac{c}{a}=z.$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$(a+b+c-2)^{\frac{1}{2}}+\frac{8}{(1+a)(1+b)(1+c)}\geq 2$
Đổi qua p,q,r:, ta có r=1, $p\geq 3$
$(p-2)^{\frac{1}{2}}+\frac{8}{p+q+2}\geq 2$
Áp dụng schur: $9r\geq 4pq-p^{3} \Rightarrow q\leq \frac{9+p^{3}}{4p}$
Thay vào, do q ở mẫu nên:
$A\geq (p-2)^{\frac{1}{2}}+\frac{8}{2+p+\frac{9+p^{3}}{4p}}\geq 2 \Leftrightarrow (p-2)^{\frac{1}{2}}+\frac{32p}{p^{3}+4p^{2}+8p+9}\geq 2$
Trừ sang nhân liên hợp rồi phân tích ra nhận tử:
$\Leftrightarrow (p-2)^{\frac{1}{2}}+\frac{32p}{p^{3}+4p^{2}+8p+9}\geq 2 \Leftrightarrow \frac{(p-3)}{(p-2)^{\frac{1}{2}}+1}\geq \frac{(p-3)(p^{2}+7p-3)}{p^{3}+4p^{2}+8p+9} \Leftrightarrow 2(p^{3}+4p^{2}+8p+9)\geq (2(p-2)^{\frac{1}{2}}+2)(p^{2}+7p-3)$
Áp dụng Cauchy thì: $2(1(p-2))^{\frac{1}{2}}+2\leq (p+1)$
nên VP nhỏ hơn hoặc bằng:
$p^{3}+8p^{2} +4p-3\leq$ VT => dpcm

Lôi cả đề học kì của trường mình lên đây nữa hả fan cuồng Ngô Khánh Linh Hôm đó mình giải thế này:
Bổ đề:
$x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz=1$
thì
$(1-x)(1-y)(1-z)\geq xyz$
Tồn tại 3 số m,n,p sao cho:
$x=(\frac{mn}{(m+p)(n+p)})^{\frac{1}{2}}$
y, z tương tự
$1-x=\frac{(m+p)(n+p)^{\frac{1}{2}}-mn^{\frac{1}{2}}}{(m+p)(n+p)^{\frac{1}{2}}} \geq \frac{p}{(m+p)(n+p)^{\frac{1}{2}}}$
(theo bunhiacoxki) Nhân 3 về ra điều phải chứng minh:
Bây giờ quay trở lại bài toán gốc:
Đặt x=$\frac{1}{1+a}$ ,y,z tương tự
Ta có: $xyz=(1-x)(1-y)(1-z)$
bđt cần chứng minh tương đương với:
$x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz\geq 1$
phản chứng, giả sử:
$x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz< 1$
=> tồn tại k sao cho:
$(kx)^{2}+(ky)^{2}+(kz)^{2}+2k^{3}xyz=1$
và k>1
theo bổ đề trên:
$(1-kx)(1-ky)(1-kz)\geq k^{3}xyz$
mà $k> 1\rightarrow kx> x\rightarrow 1-kx< 1-x$
=> $xyz=(1-x)(1-y)(1-x)> (1-kx)(1-ky)(1-kz)> k^{3}xyz \rightarrow k< 1$
vậy trái với đk k>1 => kết thúc bài toán

Cộng vào mỗi vé
$\frac{c}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}$
Dùng Cauchy đưa bđt cần chứng minh về:
$\prod (a^{2}+bc)\geq \prod (ab+ac)$
Đên đây dùng kĩ thuật ghép đối xứng là kết thúc bài toán

Cho các số thực $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ thỏa mãn : $a + b + c = 3$ $;$ $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ $>$ $0$. Chứng minh :
$19 + 9abc \geq 9(ab + bc + ca) + (abc)^{2}$

Cho đường tròn tâm O. hai tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại A. trên cung nhỏ BC lấy M. Hạ MI vuông góc với BC, MH vuông góc với AB, MK vuông góc với AC. HI cắt MB tại P, KI cắt MC tại Q. đường tròn ngoại tiếp tam giác MHP và KHQ cắt nhau tại N là điểm thứ hai. Chứng minh MN đi qua trung điểm BC.
Em rất muốn biết cách giải bài này, mong mọi người giúp.

Cho 53 số nguyên dương phân biệt có tổng nhỏ hơn 2004. Chứng minh rằng có thể chọn được 6 số trong 53 sô nguyên dương đó sao cho trong 6 số đó có 3 cặp chia hết cho 53.