Tìm kiếm
Bí mật
mình rất yêu diễn đàn toán nhưng cũng đến lúc phải xa nó rồi, không vào đây cũng nhớ mọi người lắm, nhưng không thể khác hơn!
chúc mọi người luôn vui, hạnh phúc. mong diễn đàn toán ngày một đông vui và chất lượng! nhớ mọi người rất nhiều!
huongnhai
Niềm vui và cái đẹp trong Toán học
18-04-2005 - 18:15
post lên đây một bài báo cho mọi người đọc lấy cảm hứng nha. bài này đăng trên tạp chí toán học tuổi trẻ.
---------------------------------------------------------------------------------------------
NIỀM VUI VÀ CÁI ĐẸP CỦA TOÁN HỌC
(Bài nó chuyện của Peter Hilton, giáo sư trường đại học NewYork, Mỹ, tại buổi công bố kết quả cuộc thi Toán học lần thứ 4 của Bỉ, ngày 24-5-1989 ở trường đai học Antwerp, Bài dịch của giáo sư Đoàn Quỳnh, bài đăng trên tạp chí toán học tuổi trẻ).
Trước hết cho tôi gửi đến tất cả các bạn thi chung kết lời chúc mừng nồng nhiệt về thành tựu đẹp đẽ của các bạn. Các bạn đã chứng tỏ khả năng, sự thông minh, trí tưỏng tưỏng và tinh thần sáng tạo ở mức độ cao trong một lĩnh vực là toán học mà tôi dám cả gan cho là một trong những biểu hiện đẹp đẽ nhất của trí óc con người. Như nhà toán học lớn của Anh, ông G.H.Hardy, đã nói một cách đầy ý nhị kiểu Anh: ìMột lĩnh vực không phải bắt đầu với Archimède và sẽ không tận cùng với Einstein chắc chắn phải có điều gì đó đáng thán phục”. Do đó đối với tất cả các bạn, những người đang tiếp tục một các tạm coi là khá gương mẫu truyền thống lớn lao của Achimède và Esinstein, tôi nói ìCác bạn đã làm giỏi”.
Bây giờ cho phép tôi đi vào nội dung chính của buổi nói chuyện này. Tôi muốn bắt đầu bằng cách kể lại một dịp cách đây vài năm khi tôi được mời nói chuyện với một nhóm thầy dạy toán ở phổ thông cơ sở và phổ thông trung học ở Salt City(thủ phủ bang Utah, Mỹ). Tôi đã chọn đề tài nói chuyện là ìcải cách chưong trình và sư phạm trong giảng dạy toán học” và trong khi nói những nhận xét của tôi về những chiến lược sư phạm có hiệu quả, tôi đã phát biểu quan điểm là giảng dạy toán học không thể thành công nếu học sinh không đựoc hấp dẫn bởi những tinh tế của toán học và không coi việc làm toán là một thú vui. Trong quá trình thảo luận, tiếp theo những nhận xét của tôi và thực ra là có thể coi là đóng góp đầu tiên cho cuộc thảo luận đó, một giáo viên trugn học không đồng ý với tôi mà nói rằng toán học là một lĩnh vực nghiêm túc và không thể để học sinh quan niệm hoặc thầy giáo trình bày như một trò vui.
Bây giờ tôi bảo vệ ý kiến, tất nhiên một cách rất tế nhị, và nay tôi vẫn giữ ý kiến là người thầy giáo đó, làm việc với một niềm tin phổ biến nhưng không đúng rằng có một đối chọi cơ bản giữa sự gây hứng thú và tính nghiêm túc của toán học. Đó là một sự tách biệt giả tạo, tương tự dưới nhiều khía cạnh, với sự tách biệt giả tạo quen biết giữa toán học thuần tuý và ứng dụng.
Tất nhiên, toán học là quan trọng và quả là ngày càng quan trọng. Một số lĩnh vực nghiên cứu của loài người, chẳng hạn xã hội học, tâm lý học, sinh hoá học cho đén nay kháng cự sự thâm nhập của mọi cái khác trừ ảnh hưởng toán học thô thiển nhất thì nay đang dùng những kỹ thuật và ý tưởng toán học rất tinh vi. Một số bộ phận của toán học là thuần tuý không thể chối cãi được chẳng hạn lý thuyết bất biến cổ điển, lý thuyết trường hữu hạn, lý thuyết đồng điều thì nay đang được ứng dụng trogn các vấn đề thời sự quan trọng của thế giới hiện thực. Máy tính phổ cập đựoc đòi hỏi rộng rãi mà có lúc trước đay chỉ mới đòi hỏi sự tồn tại, là một sự kiện đáng chú ýcảu toán học ngày nay. Vâng, toán học là cực kỳ quan trọgn trong xã hội hiện đại; Tuy thế, tôi phải thừa nhận với đầy đủ sự trung thực rằng tính quan trọng của nó không phải là lý do chủ yếu mà chúng tôi, những nhà toán học, đã hành nghề một cách cần cù và hứng thú như thế. Tôi nhớ đến người thầy giáo và bạn tôi, ông Henry Whitehead, nhà tôpô học Anh nổi tiếng, một lần đã nói về điều đó : ìKhông gì có thể cho tôi niềm vui lớn hơn là một buổi sáng nào đó thức đạy được báo tin rằng một trong các định lý cảu tôi đã làm cho chiến tranh trở thành lỗi thời. Tuy nhiên tôi vẫn phải thừa nhận rằng điều đó không có liên quan gì đến các lí do vì sao tôi đã cố gắng chứng minh định lý ấy”.
Lí do chúng ta làm toán là nó hấp dẫn chúgn ta. Nó kích thích lòng tò mò tri thức và mĩ cảm của chúgn ta. Nó đặt ra các câu hỏi có ý nghĩa sâu sắc, mà những câu trả lời của chúng nếu chúng ta khá may mắn tìm ra được một câu nào đấy sẽ cho ta một phần thưởng tinh thẩn trực tiếp mà ngay tức khắc mở đường cho một cơn sóng hiếu kỳ mới, một loạt những câu hỏi mới.
B
ây giờ có thể có một lập luận ở một mức độ triết học sâu sắc rằng toán học hấp dẫn chúgn ta chính vì tính quan trọng của nó. Tuy nhien nếu chúng ta nói đến sự quan trọng trogn một ý nghĩa xã hội, ngoại lai như chúgn ta đang nói thì tôi không tin rằng điều đó đúng. Vì mối liên quan triết học nếu nó có và đó là mội điều cần nghiên cứu sâu sắc và lâu dài chứ không phải là suy nghĩ thoáng qua, chắc chắn là sự hấp dẫn tri thức của toán học và tính quan trọng nội tại của nó như là một lĩnh vực cơ bản của các cố gắng của loài người.
Tất nhiên tôi tin sâu sắc rằng toán học quan trọng theo nghĩa đó. Nếu được phép nhắc đến thầy giáo Henry Whitehead của tôi thì tôi nhớ đến việc ông cố gắng thuyết phục một đồng nghiệp trẻ đang nghĩ tìm một chức vụ trong công việc chính quyền rằng trái lại nên tiếp tục làm một nhà toán học ở đại học(Thầy giáo tôi đã không thành công trong việc thuyết phục người thanh niên đó. Nhưng tôi cho rằng lý lẽ ông đưa ra cực kỳ đanh thép. Thầy đã lý luận rằng trogn cuộc sống có một số việc đáng làm, ngay cả khi không phải tuyệt đối ở cương vị đầu đàn, vì tính tương xứng nội tại của chúng và tôi nhớ thầy nhắc đến nhạc, toán và việc đóng giày tốt. thầy Whitehead nói: ìThà làm một người hạng hai trogn một nghề nghiệp hạng nhất còn hơn làm một người hạng nhất trong một nghề hạng hai”, cũgn nên thêm rằng Whitehead là người đứng đầu trong một nghề nghiệp hàng đầu nên không phải đương đầu với tình trạng khó xử oái oăm như thế ).
Tuy nhiên, như tôi đã nói, sự quan trọng mà các nhà cầm quyền, cha mẹ, thầy giáo ngày nay gán cho toán học không phải thuộc tính nội tại như trên mà là nói đến vai trò cuả nó trogn việc đảm bảo tính nổi bật và hạnh phúc trong xã hội của họ. Do đó nó đề cập gián tiếp đến vai trò của toán học trong khoa học và công nghệ; Nhưng đó chính là điều mà phần lớn người ta quan niệm về vai trò của toán học trong xã hội văn minh theo mọi khía cạnh của nó.
Tôi nhắc lại, sự quan trọng của toán học thường được hiểu theo nghĩa xã hội của từ này; Theo nghĩa đó, nó giải thích tại sao chúng ta được cấp tiền để làm toán nhưng không giải thích vì sao chúng ta làm toán và rõ ràng không giải thích vì sao chúgn ta, hay ít ra, một trong số chúng ta, có lúc lại làm toán tốt thế. Muốn giải thích điều đó, chúng ta phải đi sâu hơn vào bản chất của chính toán học.
Toán học là một suy nghĩ có hệ thống, nưong nhờ một ngôn ngữ và kí hiệu một cách đẹp đẽ. Nó được dặc trưng bởi sự phát hiện và sáng tạo những mô hình ìa sự thiết lập những mối liên hệ tinh tế giữa các bộ phận bề ngoài rất khác nhau của nó. Nó không phải là tập hợp những bộ môn con khác nhau mà là một tổng thể thống nhất có chứa chấp một kho tàng những khái niệm và kỹ thuật khác nhau. Nó không phải tập hợp những hiệ tượng; và sự hiểu biết toán học không phải được kiểm tra bởi sự kiểm tra tri thức và ký ức.
Mallory nói: ìtôi cố gắng leo lên đỉnh núi Everest bởi vì nó có ở đấy”. Các nhà toán học cũng cố gắng làm toán vì đúng như thế. Toán học tồn tại vì kinh nghiệm của thế giới bên ngoài dẫn ta đến đặ ra những câu hỏi mà chỉ thể được hỏi và trả lời một cách xác đáng trogn khuôn khổ toán học. nhà vật lý học Richard Feynman, phụ hoạ suy nghĩ của Galileo, nói rằng : ìThiên nhiên nói với chúgn ta bằng ngôn ngữ của toán học”. Nhưng toán học cũng tồn tại vì nó là phuơng thức tự nhiên của tiến bộ, Toán học là những câu hỏi được đặt ra do những tiến bộ đó và tạo nên sự kích thích cho những tiến bộ mới. vậy, như tôi nói, toán học ứng dụgn và thuần tuý là giống nhau theo nghĩa vận động của chúng cũng như giống nhau trong thực hành riêng của chúng.
Chúng ta, những nhà toán học thèm muốn niềm vui mà toán học đem tới cho chúgn ta. Niềm vui đó đén với chúgn ta qua sự nhận thức về khả năng lớn lao của một ý tưởng toán học phong phú qua sự cảm nhận rằng một ý tưỏng như thế đựoc diễn đạt dưới một dàng có thể đạt đựoc hoàn thiện, bởi có lúc chúng ta cảm giác một khái niệm toán học đã đạt đến hoàn thiện và một suy luận toán học đã đạt được một sự tao nhã và vẻ đẹp siêu phàm.
Cho phép tôi nêu ra ba ví dụ về sự đẹp đẽ của toán học.
Ví dụ đầu tiên là định lý nổi tiếng của Euclit nói rằng có vô số số nguyên tố, để chứng minh định này , ta hãy giả thiết có thể đếm được các số nguyên tố là p1,p2,p3…pn. đặt N= p1*p2*…*pn+1 thì N lớn hơn bất cứ số p1,p2…nào và như vậy không phải là số nguyên tố, do đó pahỉ chia hết cho một số nguyên tố nào đó. Tuy nhiên, khi chia nó cho một số p(i) tuỳ ý nào thi dư 1 nên chúng ta đi đến mâu thuẫn và như thế ta đã chứng minh đựoc định lý của Euclit.
Ví dụ thứ hai là khẳng định ìkhông có số hữu tỷ nào có bình phương bằng 2”. Chúng ta lại giả sử điều trái lại để đi đến một mâu thuẫn. giả sử a/b là một số hữu tỷ có bình phưong bằng 2. ta có thể giả sử a/b là phân số tối giản. có a2/b2 =2 hay a2=2b2 nên a2 chẵn. vì bình phưong của một số lẽ là một số lẽ nên a là một số chẵn, viết a=2c. khi đó, 2b2=4c2 nên b2=2c2. và như thế ta kết luận b chẵn, nhưngcả a ,b chẵn thì a/b không phải là phan số tối giản và chúng ta đạt được đến mâu thuẫn -> điều cần chứng minh.
Ví dụ thứ ba, chúng ta hãy xét câu chuyện về Gauss thuở nhỏ, hình như thầy giáo đặt ra cho cả lớp một bài toán buồn chán đáng sợ là cộng tất cả các số từ 1 đến 100. Gauss lí luận rằng tổng đó có thể tính dưới dạng:
1+2+3+..+48+49+50+100+99+98+..+53+52+51
khi đó có 50 tổng đứng và mỗi tổng đứng bằng 101. vậy tổng cần tìm là 50*101=5050.
Trong tất cả các ví dụ đó, suy luận phát hiện ra một điều hiểu biết vượt quá điều buộc ta tin vào kết luận; nó chứng tỏ cho ta vì sao mệnh đề ta đang xét là đúng. Lập luận cũng khá đẹp và ngắn gọn-người ta không thể nghĩ đựoc rằng có thể rút ngắn đáng kể đựoc nữa. nó cực kỳ tiết kiệm, không mang một đièu gì thừa. Rõ ràng hai ví dụ sau mang lại niềm tin rằng có điều lớn hơn điều đã phát biểu cũng đúng. Tức là phương pháp suy luận có thể sẵn sàng đem áp dụng để chứng minh những khẳng định khác. Thực vậy, suy luận của Gauss thay đổi đi đôi chút , nay là phương pháp mẫu mực để tính tổng một cấp số cộng.
Như chúng tôi đã nói, tất cả các suy luận tren cho chúgn ta thấu hiểu cấu trúc nội tại của hệ thống toán học của chúng ta; Và tôi giữ ý kiến rằng động cơ mạnh mẽ nhất cảu chúgn ta khi làm toán là muốn vươn tới những thấu hiểu như thế. Đó thương flà một cuộc đấu tranh căng thẳng, đòi hỏi phải làm như vầy; thưòng ta tưởng thất bại nhưng trong một chớp cao hứng chói loà sau nhiều giờ và có thể nhiều ngày cố gắng mà bề ngoài như không hiệu quả, thực chất của bài toán phơi bày rõ ràng và tất cả trở nên sáng tỏ một cách thần kỳ.
Ở đây tôi muốn nói đến một điều về những thấu hiểu thực chất như thế trong toán học, một điều tuy về bản chất có tính thực nghiệm và thuần tuý kinh nghiệm nhưng theo tôi có tầm quan trọng cơ bản và là một lý do chính yếu để chọn nghiên cứu toán học làm hoạt động chính của đời mình. Sự háo hức ta có được từ các tia sáng thấu đáo hiếm hoi như thế không phụ thuộc vào việc ta có phải là nguồn gốc của ý tuởng đó hay không. Tái phátminhlà một sự từng trải có thể sánh với sự háo hức trong phát minh của người ta trogn các khoa học khác. Chấp nhận phát minh của người khác và tiến hành lại, làm cho ta tháy rằng về khía cạnh này, các nhà toán học là rất đặc biệt, các nhà toán học có niềm vui chính đáng trogn thắng lợi của những ngưòi khác và , theo một nghĩa nào đấy, trong việc thực hiện lại phát minh, việc làm chủ các điều rối ren trong công trình của người khác, thực vậy , ta có thể nói rằng sự hiểu thực sự trong toán học là việc biến ý kiến và kỹ thuật thành của chính mình, tất nhiên không phải với ý nghĩa thô thiển là chiếm đoạt các ý tưỏng đó mà với ý nghĩa sâu sắc hơn là khả nang dùng chúng để sáng tỏ và đẩy mạnh ý tưởng của chính mình.
……………..
Tôi hy vọng rằng những ví dụ mà tôi đưa ra về lập luận toán học tuyệt vời cung cấp cho thính giả niềm vui thích, thật ra là một thoã mãn mĩ cảm, tôi mong rằng bất cứ học sinh giỏi toán nào, với vốn kiến thức toán học cần thiết , có thể đánh giá đựoc, ít nhất về mặt trực giác cái đẹp và chất lượng của chúng! Thực vậy, chúng có thể dùng để phân biệt những học sinh nên tiếp tục học toán với những học sinh nên đựoc khuyên chuyển sang những mục tiêu có lợi hơn nhưng ít phần thưởng hơn. Những ngưòi Hy Lạp cổ xưa đã hiểu cả sự quan trọng và sự đẹp đẽ của toán học. Nhưng ít người cầm quyền, quan chức, làm chính trị ngày nay hiểu đựoc sự hoàn hảo đó trong bản chất của toán học. Dù sao, chúng ta hãy vui mừng nếu những nhân vật lỗi lạc , những kỹ nghệ gia lớn khuyến khích chúgn ta làm toán; Nhưng chúng ta hãy đừng nhận từ họ việc lựa chọn bài toán không chính xác và bài toán hầu như chắc chắn không giải được cũng nhuư nhận từ họ sự biện hộ để chúng ta làm toán. Do suy nghĩ đến những thu hoạch vật chất, họ không hiểu tí gì về niềm vui của toán học. Và tôi xin kết thúc bài phát biểu của mình bằng cách thêm rằng: Hãy để những ngưòi có ý định từ bỏ toán học vì những mục tiêu khác tự vấn mình xem họ còn tìm thấy ở đâu một nguồn vui tưong xứng.
: Tiêu đề của bài báo này là :ìniềm vui của toán học”.
---------------------------------------------------------------------------------------------
NIỀM VUI VÀ CÁI ĐẸP CỦA TOÁN HỌC
(Bài nó chuyện của Peter Hilton, giáo sư trường đại học NewYork, Mỹ, tại buổi công bố kết quả cuộc thi Toán học lần thứ 4 của Bỉ, ngày 24-5-1989 ở trường đai học Antwerp, Bài dịch của giáo sư Đoàn Quỳnh, bài đăng trên tạp chí toán học tuổi trẻ).
Trước hết cho tôi gửi đến tất cả các bạn thi chung kết lời chúc mừng nồng nhiệt về thành tựu đẹp đẽ của các bạn. Các bạn đã chứng tỏ khả năng, sự thông minh, trí tưỏng tưỏng và tinh thần sáng tạo ở mức độ cao trong một lĩnh vực là toán học mà tôi dám cả gan cho là một trong những biểu hiện đẹp đẽ nhất của trí óc con người. Như nhà toán học lớn của Anh, ông G.H.Hardy, đã nói một cách đầy ý nhị kiểu Anh: ìMột lĩnh vực không phải bắt đầu với Archimède và sẽ không tận cùng với Einstein chắc chắn phải có điều gì đó đáng thán phục”. Do đó đối với tất cả các bạn, những người đang tiếp tục một các tạm coi là khá gương mẫu truyền thống lớn lao của Achimède và Esinstein, tôi nói ìCác bạn đã làm giỏi”.
Bây giờ cho phép tôi đi vào nội dung chính của buổi nói chuyện này. Tôi muốn bắt đầu bằng cách kể lại một dịp cách đây vài năm khi tôi được mời nói chuyện với một nhóm thầy dạy toán ở phổ thông cơ sở và phổ thông trung học ở Salt City(thủ phủ bang Utah, Mỹ). Tôi đã chọn đề tài nói chuyện là ìcải cách chưong trình và sư phạm trong giảng dạy toán học” và trong khi nói những nhận xét của tôi về những chiến lược sư phạm có hiệu quả, tôi đã phát biểu quan điểm là giảng dạy toán học không thể thành công nếu học sinh không đựoc hấp dẫn bởi những tinh tế của toán học và không coi việc làm toán là một thú vui. Trong quá trình thảo luận, tiếp theo những nhận xét của tôi và thực ra là có thể coi là đóng góp đầu tiên cho cuộc thảo luận đó, một giáo viên trugn học không đồng ý với tôi mà nói rằng toán học là một lĩnh vực nghiêm túc và không thể để học sinh quan niệm hoặc thầy giáo trình bày như một trò vui.
Bây giờ tôi bảo vệ ý kiến, tất nhiên một cách rất tế nhị, và nay tôi vẫn giữ ý kiến là người thầy giáo đó, làm việc với một niềm tin phổ biến nhưng không đúng rằng có một đối chọi cơ bản giữa sự gây hứng thú và tính nghiêm túc của toán học. Đó là một sự tách biệt giả tạo, tương tự dưới nhiều khía cạnh, với sự tách biệt giả tạo quen biết giữa toán học thuần tuý và ứng dụng.
Tất nhiên, toán học là quan trọng và quả là ngày càng quan trọng. Một số lĩnh vực nghiên cứu của loài người, chẳng hạn xã hội học, tâm lý học, sinh hoá học cho đén nay kháng cự sự thâm nhập của mọi cái khác trừ ảnh hưởng toán học thô thiển nhất thì nay đang dùng những kỹ thuật và ý tưởng toán học rất tinh vi. Một số bộ phận của toán học là thuần tuý không thể chối cãi được chẳng hạn lý thuyết bất biến cổ điển, lý thuyết trường hữu hạn, lý thuyết đồng điều thì nay đang được ứng dụng trogn các vấn đề thời sự quan trọng của thế giới hiện thực. Máy tính phổ cập đựoc đòi hỏi rộng rãi mà có lúc trước đay chỉ mới đòi hỏi sự tồn tại, là một sự kiện đáng chú ýcảu toán học ngày nay. Vâng, toán học là cực kỳ quan trọgn trong xã hội hiện đại; Tuy thế, tôi phải thừa nhận với đầy đủ sự trung thực rằng tính quan trọng của nó không phải là lý do chủ yếu mà chúng tôi, những nhà toán học, đã hành nghề một cách cần cù và hứng thú như thế. Tôi nhớ đến người thầy giáo và bạn tôi, ông Henry Whitehead, nhà tôpô học Anh nổi tiếng, một lần đã nói về điều đó : ìKhông gì có thể cho tôi niềm vui lớn hơn là một buổi sáng nào đó thức đạy được báo tin rằng một trong các định lý cảu tôi đã làm cho chiến tranh trở thành lỗi thời. Tuy nhiên tôi vẫn phải thừa nhận rằng điều đó không có liên quan gì đến các lí do vì sao tôi đã cố gắng chứng minh định lý ấy”.
Lí do chúng ta làm toán là nó hấp dẫn chúgn ta. Nó kích thích lòng tò mò tri thức và mĩ cảm của chúgn ta. Nó đặt ra các câu hỏi có ý nghĩa sâu sắc, mà những câu trả lời của chúng nếu chúng ta khá may mắn tìm ra được một câu nào đấy sẽ cho ta một phần thưởng tinh thẩn trực tiếp mà ngay tức khắc mở đường cho một cơn sóng hiếu kỳ mới, một loạt những câu hỏi mới.
B
ây giờ có thể có một lập luận ở một mức độ triết học sâu sắc rằng toán học hấp dẫn chúgn ta chính vì tính quan trọng của nó. Tuy nhien nếu chúng ta nói đến sự quan trọng trogn một ý nghĩa xã hội, ngoại lai như chúgn ta đang nói thì tôi không tin rằng điều đó đúng. Vì mối liên quan triết học nếu nó có và đó là mội điều cần nghiên cứu sâu sắc và lâu dài chứ không phải là suy nghĩ thoáng qua, chắc chắn là sự hấp dẫn tri thức của toán học và tính quan trọng nội tại của nó như là một lĩnh vực cơ bản của các cố gắng của loài người.
Tất nhiên tôi tin sâu sắc rằng toán học quan trọng theo nghĩa đó. Nếu được phép nhắc đến thầy giáo Henry Whitehead của tôi thì tôi nhớ đến việc ông cố gắng thuyết phục một đồng nghiệp trẻ đang nghĩ tìm một chức vụ trong công việc chính quyền rằng trái lại nên tiếp tục làm một nhà toán học ở đại học(Thầy giáo tôi đã không thành công trong việc thuyết phục người thanh niên đó. Nhưng tôi cho rằng lý lẽ ông đưa ra cực kỳ đanh thép. Thầy đã lý luận rằng trogn cuộc sống có một số việc đáng làm, ngay cả khi không phải tuyệt đối ở cương vị đầu đàn, vì tính tương xứng nội tại của chúng và tôi nhớ thầy nhắc đến nhạc, toán và việc đóng giày tốt. thầy Whitehead nói: ìThà làm một người hạng hai trogn một nghề nghiệp hạng nhất còn hơn làm một người hạng nhất trong một nghề hạng hai”, cũgn nên thêm rằng Whitehead là người đứng đầu trong một nghề nghiệp hàng đầu nên không phải đương đầu với tình trạng khó xử oái oăm như thế ).
Tuy nhiên, như tôi đã nói, sự quan trọng mà các nhà cầm quyền, cha mẹ, thầy giáo ngày nay gán cho toán học không phải thuộc tính nội tại như trên mà là nói đến vai trò cuả nó trogn việc đảm bảo tính nổi bật và hạnh phúc trong xã hội của họ. Do đó nó đề cập gián tiếp đến vai trò của toán học trong khoa học và công nghệ; Nhưng đó chính là điều mà phần lớn người ta quan niệm về vai trò của toán học trong xã hội văn minh theo mọi khía cạnh của nó.
Tôi nhắc lại, sự quan trọng của toán học thường được hiểu theo nghĩa xã hội của từ này; Theo nghĩa đó, nó giải thích tại sao chúng ta được cấp tiền để làm toán nhưng không giải thích vì sao chúng ta làm toán và rõ ràng không giải thích vì sao chúgn ta, hay ít ra, một trong số chúng ta, có lúc lại làm toán tốt thế. Muốn giải thích điều đó, chúng ta phải đi sâu hơn vào bản chất của chính toán học.
Toán học là một suy nghĩ có hệ thống, nưong nhờ một ngôn ngữ và kí hiệu một cách đẹp đẽ. Nó được dặc trưng bởi sự phát hiện và sáng tạo những mô hình ìa sự thiết lập những mối liên hệ tinh tế giữa các bộ phận bề ngoài rất khác nhau của nó. Nó không phải là tập hợp những bộ môn con khác nhau mà là một tổng thể thống nhất có chứa chấp một kho tàng những khái niệm và kỹ thuật khác nhau. Nó không phải tập hợp những hiệ tượng; và sự hiểu biết toán học không phải được kiểm tra bởi sự kiểm tra tri thức và ký ức.
Mallory nói: ìtôi cố gắng leo lên đỉnh núi Everest bởi vì nó có ở đấy”. Các nhà toán học cũng cố gắng làm toán vì đúng như thế. Toán học tồn tại vì kinh nghiệm của thế giới bên ngoài dẫn ta đến đặ ra những câu hỏi mà chỉ thể được hỏi và trả lời một cách xác đáng trogn khuôn khổ toán học. nhà vật lý học Richard Feynman, phụ hoạ suy nghĩ của Galileo, nói rằng : ìThiên nhiên nói với chúgn ta bằng ngôn ngữ của toán học”. Nhưng toán học cũng tồn tại vì nó là phuơng thức tự nhiên của tiến bộ, Toán học là những câu hỏi được đặt ra do những tiến bộ đó và tạo nên sự kích thích cho những tiến bộ mới. vậy, như tôi nói, toán học ứng dụgn và thuần tuý là giống nhau theo nghĩa vận động của chúng cũng như giống nhau trong thực hành riêng của chúng.
Chúng ta, những nhà toán học thèm muốn niềm vui mà toán học đem tới cho chúgn ta. Niềm vui đó đén với chúgn ta qua sự nhận thức về khả năng lớn lao của một ý tưởng toán học phong phú qua sự cảm nhận rằng một ý tưỏng như thế đựoc diễn đạt dưới một dàng có thể đạt đựoc hoàn thiện, bởi có lúc chúng ta cảm giác một khái niệm toán học đã đạt đến hoàn thiện và một suy luận toán học đã đạt được một sự tao nhã và vẻ đẹp siêu phàm.
Cho phép tôi nêu ra ba ví dụ về sự đẹp đẽ của toán học.
Ví dụ đầu tiên là định lý nổi tiếng của Euclit nói rằng có vô số số nguyên tố, để chứng minh định này , ta hãy giả thiết có thể đếm được các số nguyên tố là p1,p2,p3…pn. đặt N= p1*p2*…*pn+1 thì N lớn hơn bất cứ số p1,p2…nào và như vậy không phải là số nguyên tố, do đó pahỉ chia hết cho một số nguyên tố nào đó. Tuy nhiên, khi chia nó cho một số p(i) tuỳ ý nào thi dư 1 nên chúng ta đi đến mâu thuẫn và như thế ta đã chứng minh đựoc định lý của Euclit.
Ví dụ thứ hai là khẳng định ìkhông có số hữu tỷ nào có bình phương bằng 2”. Chúng ta lại giả sử điều trái lại để đi đến một mâu thuẫn. giả sử a/b là một số hữu tỷ có bình phưong bằng 2. ta có thể giả sử a/b là phân số tối giản. có a2/b2 =2 hay a2=2b2 nên a2 chẵn. vì bình phưong của một số lẽ là một số lẽ nên a là một số chẵn, viết a=2c. khi đó, 2b2=4c2 nên b2=2c2. và như thế ta kết luận b chẵn, nhưngcả a ,b chẵn thì a/b không phải là phan số tối giản và chúng ta đạt được đến mâu thuẫn -> điều cần chứng minh.
Ví dụ thứ ba, chúng ta hãy xét câu chuyện về Gauss thuở nhỏ, hình như thầy giáo đặt ra cho cả lớp một bài toán buồn chán đáng sợ là cộng tất cả các số từ 1 đến 100. Gauss lí luận rằng tổng đó có thể tính dưới dạng:
1+2+3+..+48+49+50+100+99+98+..+53+52+51
khi đó có 50 tổng đứng và mỗi tổng đứng bằng 101. vậy tổng cần tìm là 50*101=5050.
Trong tất cả các ví dụ đó, suy luận phát hiện ra một điều hiểu biết vượt quá điều buộc ta tin vào kết luận; nó chứng tỏ cho ta vì sao mệnh đề ta đang xét là đúng. Lập luận cũng khá đẹp và ngắn gọn-người ta không thể nghĩ đựoc rằng có thể rút ngắn đáng kể đựoc nữa. nó cực kỳ tiết kiệm, không mang một đièu gì thừa. Rõ ràng hai ví dụ sau mang lại niềm tin rằng có điều lớn hơn điều đã phát biểu cũng đúng. Tức là phương pháp suy luận có thể sẵn sàng đem áp dụng để chứng minh những khẳng định khác. Thực vậy, suy luận của Gauss thay đổi đi đôi chút , nay là phương pháp mẫu mực để tính tổng một cấp số cộng.
Như chúng tôi đã nói, tất cả các suy luận tren cho chúgn ta thấu hiểu cấu trúc nội tại của hệ thống toán học của chúng ta; Và tôi giữ ý kiến rằng động cơ mạnh mẽ nhất cảu chúgn ta khi làm toán là muốn vươn tới những thấu hiểu như thế. Đó thương flà một cuộc đấu tranh căng thẳng, đòi hỏi phải làm như vầy; thưòng ta tưởng thất bại nhưng trong một chớp cao hứng chói loà sau nhiều giờ và có thể nhiều ngày cố gắng mà bề ngoài như không hiệu quả, thực chất của bài toán phơi bày rõ ràng và tất cả trở nên sáng tỏ một cách thần kỳ.
Ở đây tôi muốn nói đến một điều về những thấu hiểu thực chất như thế trong toán học, một điều tuy về bản chất có tính thực nghiệm và thuần tuý kinh nghiệm nhưng theo tôi có tầm quan trọng cơ bản và là một lý do chính yếu để chọn nghiên cứu toán học làm hoạt động chính của đời mình. Sự háo hức ta có được từ các tia sáng thấu đáo hiếm hoi như thế không phụ thuộc vào việc ta có phải là nguồn gốc của ý tuởng đó hay không. Tái phátminhlà một sự từng trải có thể sánh với sự háo hức trong phát minh của người ta trogn các khoa học khác. Chấp nhận phát minh của người khác và tiến hành lại, làm cho ta tháy rằng về khía cạnh này, các nhà toán học là rất đặc biệt, các nhà toán học có niềm vui chính đáng trogn thắng lợi của những ngưòi khác và , theo một nghĩa nào đấy, trong việc thực hiện lại phát minh, việc làm chủ các điều rối ren trong công trình của người khác, thực vậy , ta có thể nói rằng sự hiểu thực sự trong toán học là việc biến ý kiến và kỹ thuật thành của chính mình, tất nhiên không phải với ý nghĩa thô thiển là chiếm đoạt các ý tưỏng đó mà với ý nghĩa sâu sắc hơn là khả nang dùng chúng để sáng tỏ và đẩy mạnh ý tưởng của chính mình.
……………..
Tôi hy vọng rằng những ví dụ mà tôi đưa ra về lập luận toán học tuyệt vời cung cấp cho thính giả niềm vui thích, thật ra là một thoã mãn mĩ cảm, tôi mong rằng bất cứ học sinh giỏi toán nào, với vốn kiến thức toán học cần thiết , có thể đánh giá đựoc, ít nhất về mặt trực giác cái đẹp và chất lượng của chúng! Thực vậy, chúng có thể dùng để phân biệt những học sinh nên tiếp tục học toán với những học sinh nên đựoc khuyên chuyển sang những mục tiêu có lợi hơn nhưng ít phần thưởng hơn. Những ngưòi Hy Lạp cổ xưa đã hiểu cả sự quan trọng và sự đẹp đẽ của toán học. Nhưng ít người cầm quyền, quan chức, làm chính trị ngày nay hiểu đựoc sự hoàn hảo đó trong bản chất của toán học. Dù sao, chúng ta hãy vui mừng nếu những nhân vật lỗi lạc , những kỹ nghệ gia lớn khuyến khích chúgn ta làm toán; Nhưng chúng ta hãy đừng nhận từ họ việc lựa chọn bài toán không chính xác và bài toán hầu như chắc chắn không giải được cũng nhuư nhận từ họ sự biện hộ để chúng ta làm toán. Do suy nghĩ đến những thu hoạch vật chất, họ không hiểu tí gì về niềm vui của toán học. Và tôi xin kết thúc bài phát biểu của mình bằng cách thêm rằng: Hãy để những ngưòi có ý định từ bỏ toán học vì những mục tiêu khác tự vấn mình xem họ còn tìm thấy ở đâu một nguồn vui tưong xứng.
: Tiêu đề của bài báo này là :ìniềm vui của toán học”.
