minhduc3001

         ĐỀ THI HSGS TST NGÀY 1 VÒNG 1

Thời gian: 210 phút.

 

 

 

Câu I: Giải HPT: $(x^{2}+y^{2})(x+y-3)=4y-6x$ ; 

                           $(x^{2}+y^{2})(x-y-5)=-4x-6y$ .

 

Câu II: Cho dãy $(a_{n}) : a_{0}=2; a_{1}=4; a_{2}=11$ và công thức:  

 

$a_{n}= (n+6)a_{n-1} -3(2n+1)a_{n-2} + 9(n-2)a_{n-3} (n\geq 3)$

 

            CMR: Trong dãy trên tồn tại vô hạn các số $a_{n}$ sao cho $a_{n}-1$ chia hết cho $2^{2015}$.

 

Câu III: Cho tam giác $ABC$ không cân, nhọn nội tiếp $(O)$ cố định. $B,C$ cố định và $A$ di chuyển trên $(O)$. $I$ là tâm nội tiếp. $AI$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $M$. $F$ là hình chiếu của $I$ lên $AB$. $IF$ cắt $BC$ tại $S$. $SM$ cắt $(O)$ tại $T$.

            (a) CMR: $TI$ luôn đi qua một điểm cố định $G$ khi $A$ di chuyển.

            (b) Gọi $H$ là trực tâm $ABC$. $Q$ đối xứng với $H$ qua $F$. $L$ là hình chiếu của $F$ lên $IC$. $R$ đối xứng với $I$ qua $L$. CMR: $FL,QR,GI$ đồng quy.

 

Câu IV: Cho $x,y,z$ là các số thực dương. CMR:

$\sum \frac{xy^{3}z^{3}}{(x^{2}+yz)^{2}(y^{3}+z^{3})} \leq \frac{3}{8}$.

 

 

HẾT

Cho $a,b,c$ dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng: 

 

$\frac{1}{(a+1)^{2}(b+c)} + \frac{1}{(b+1)^{2}(c+a)} + \frac{1}{(c+1)^{2}(a+b)} \leq \frac{3}{8}$

 

P/s: Đây là bài 4 trong đề thi HSGS TST ngày 1 vòng 1(ngày hôm nay) sau khi đổi biến x,y,z thành a,b,c (đề ban đầu khá cồng kềnh). Mong mọi người cho lời giải và thảo luận.

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng tâm Euler N, điểm Kosnita K và điểm Gibert Q của tam giác ABC thẳng hàng.

   Xét bất phương trình $a^{3}\left | x \right |\leq \sqrt{3}(a^{2}-y^{2}) (1)$. Ta xét tất cả các giá trị của a để (1) có hữu hạn các cặp (x;y) với x,y nguyên thoả mãn (1). Với mỗi a như thế gọi N(a) là số các cặp khác nhau như vậy. Với mỗi k tự nhiên, hãy tìm tất cả các giá trị a để N(a)=k.

Cho một bảng ô vuông 5.5 Gọi A là tập hợp các đỉnh của các hình vuông đơn vị trừ các đỉnh của bảng. Hỏi ta có thể chọn được từ A nhiều nhất bao nhiêu điểm để trong số các điểm đã được chọn không có 3 điểm nào lập thành một tam giác cân?