sky021093

Câu IV: Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có AB’ = AC’ = a $\sqrt{2}$ ; $A’B’ = A’C’ = a$, khoảng cách từ $A’$ đến mặt phẳng $(AB’C’)$ bằng $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$ . Tính góc giữa hai mặt phẳng $(AB’C’)$ và $(A’B’C’)$. Biết thể tích của khối lăng trụ $ABC.A’B’C’$ bằng $\frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{9}$

Mình giải câu IV luôn nha!

Hình vẽ:

Gọi M là trung điểm B'C'.
Suy ra: $\left\{\begin{matrix} B'C'\perp AM\\ B'C'\perp A'M \end{matrix}\right.$
=> $\widehat{A'MA}$ là góc cần tính.
Kẻ $A'H\perp AM $ và $A'H\perp B'C'$ (vì $B'C' \perp (AA'M)\supset A'H$)
$\Rightarrow A'H \perp mp (AB'C') \Rightarrow A'H=\frac{a}{\sqrt{3}}$ (giả thiết)

Ta có: $V_{A'.AB'C'}=V_{A.A'B'C'}=\frac{1}{3}V_{lang tru}=\frac{a^{3}\sqrt{15}}{27}$
$\Rightarrow S_{AB'C'}=\frac{3V_{A'.AB'C'}}{A'H}=\frac{a^{3}\sqrt{15}}{9\frac{a}{\sqrt{3}}}=\frac{a^{2}\sqrt{15}}{9}$
$\Leftrightarrow AM.B'M=\frac{a^{3}\sqrt{5}}{3}\Rightarrow AM^{2}.B'M^{2}=\frac{5a^{4}}{9}$ (1)
$\bigtriangleup$ vuông AMB': $AM^{2}+B'M^{2}=AB'^{2}=2a^{2}$ (2)
Từ (1) và (2): $AM^{2},B'M^{2}$ là ngiệm của pt:
$X^{2}-2a^{2}X+\frac{5a^{4}}{9}=0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} X_{1}=\frac{a^{3}}{3}\\ X_{2}=\frac{5a^{2}}{3} \end{bmatrix}$
(Biện luện để chọn nghiệm nào ứng với cạnh nào cho thích hợp)
Suy ra: $B'M=\frac{a^{2}}{3}$
$AH=\frac{a\sqrt{3}}{3}$
Trong $\bigtriangleup$ vuông A'B'M: $A'M=\sqrt{A'B'^{2}-B'M^{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$
Trong $\bigtriangleup A'HM: sin \widehat{HMA'}=\frac{A'H}{A'M}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \widehat{HMA'}=45^{0}$

Câu III:
$\begin{array}{l}
I = \int\limits_{\pi /4}^{\pi /3} {\frac{{1 + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^4}x}}dx} = \int\limits_{\pi /4}^{\pi /3} {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^4}x}}} + \int\limits_{\pi /4}^{\pi /3} {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} \\
= \int\limits_{\pi /4}^{\pi /3} {\frac{{{{\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)}^2}d\left( {\tan x} \right)}}{{{{\tan }^2}x}}} + 4\int\limits_{\pi /4}^{\pi /3} {\left( {1 + {{\cot }^2}2x} \right)dx} \\
\end{array}$
................

đáp số: $\frac{-40+10\sqrt{3}}{3}$