abcdef97

Mình vừa mới làm một bài toán và kết quả đã chính xác ( có hỏi thầy giáo ) nhưng thầy bảo cách trình bày vẫn chưa đúng và bảo mình phải về làm lại nhưng mình chẳng biết trình bày sai chỗ nào cả mong các bạn chỉ dùm.
\[\sqrt {4{x^2} - 3x - 3} = 2x - 1\]
\[ \leftrightarrow 4{x^2} - 3x - 3 = 4{x^2} - 4x +1\]
\[ \leftrightarrow x = 4\]
Kết quả của mình là "x=4"
Mình có hỏi vài thằng bạn thì nó nói gì mà vế trái chưa xác định âm hay dương nên không thể bình phương 2 vế được
Mình hơi dốt toán mong mấy bạn giúp đỡ
Nếu các bạn còn dư thì giờ thì cho mình biết bài dưới đây có rút gọn được không và nếu có thì rút gọn thế nào?
\[\sqrt {2012} - \sqrt {20} \]

Bài đầu của bạn thì trình bày thiếu vì chưa xác định được rõ $2x-1$ dương hay âm nên không được bình phương 2 vế.Để được bình phương thì bạn thấy VT không âm thì để bình phương bạn phải đặt điều kiện VP không âm như sau: $\left\{\begin{matrix} 2x-1\geq 0 \\ 4x^2-3x-3=4x^2-4x+1 \end{matrix}\right.$ và giải ra được $x=4$ bạn đối chiếu với điều kiện thì thấy thỏa nên nhận nghiệm.
Bài ở dưới nếu có làm tiếp được thì chắc cũng chỉ đến đây:
$2\sqrt{503}-2\sqrt{5}$

Để của abcdef97:
Giải hệ phương trình nghiệm không âm sau:
$\left\{\begin{matrix} \frac{3x}{x+1}+\frac{4y}{y+1}+\frac{2z}{z+1}=1 \\ x^6y^{16}z^4=\frac{1}{134217728^2} \end{matrix}\right.$
Đáp án:
Ta có bổ đề sau:
Với mọi số $a_{1},a_{2},...a_{n}$ không âm và $n\geq 1$ ta có bất đẳng thức:
$a_{1}+a_{2}+...+a_{n}\geq n\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}$
Dấu bằng xảy ra khi $a_{1}=a_{2}=...=a_{n}$(Đây thực chất là bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm)(Em nghĩ vì đây là cuộc thi MHS dành cho hoc sinh THPT,trong khi đó bất đẳng thức cauchy cho n số được học ở lớp 10 nên em sẽ dùng mà không chứng minh,mong BTC thông qua.
Từ phương trình đầu của hệ cho ta:
$\frac{3x}{x+1}+\frac{4y}{y+1}+\frac{2z}{z+1}=1\Leftrightarrow \frac{2x}{x+1}+\frac{4y}{y+1}+\frac{2z}{z+1}=\frac{1}{x+1}$
Áp dụng BĐT Cauchy cho 8 số,ta có :
$\frac{1}{x+1}=\frac{2x}{x+1}+\frac{4y}{y+1}+\frac{2z}{z+1}=\frac{x}{x+1}+\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}+\frac{z}{z+1}\geq 8\sqrt[8]{\frac{x^2y^4z^2}{(x+1)^2(y+1)^3(z+1)^2}}$
Hoàn toàn tương tự.Ta có :
$\frac{1}{(y+1)}=\frac{3x}{x+1}+\frac{3y}{y+1}+\frac{2z}{z+1}\geq 8\sqrt[8]{\frac{x^3y^3z^2}{(x+1)^2(y+1)^3(z+1)^2}},\frac{1}{z+1}=\frac{3x}{x+1}+\frac{4y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\geq 8\sqrt[8]{\frac{x^3y^4z}{(x+1)^3(y+1)^4(z+1)}}$
Từ các bất đẳng thức thu được ta có:
$\frac{1}{(1+x)^3(1+y)^4(z+1)^2}\geq 8^9\sqrt[8]{\frac{x^{24}y^{32}z^{16}}{(x+1)^{24}(y+1)^{32}(z+1)^{16}}}\Leftrightarrow \frac{1}{(1+x)^3(1+y^4)(z+1)^2}\geq 8^9\frac{x^3y^4z^2}{(1+x)^3(1+y)^4(1+z)^2}\Leftrightarrow x^3y^4z^2\leq \frac{1}{8^9}=\frac{1}{134217728}\Leftrightarrow x^6y^8z^4\leq \frac{1}{34217728^2}$
Vậy để phương trình có nghiệm thì dấu "=" ở các bất đẳng thức cauchy phải xảy ra hay : $\frac{x}{x+1}=\frac{y}{y+1}=\frac{z}{z+1}$ $\Rightarrow \frac{9x}{x+1}=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{8}$ Hay $x=y=z=\frac{1}{8}$ THử lại ta thấy đúng là nghiệm.