vutuanhien

Mình có tìm hiểu về Định đề Bertrand rồi nhưng mình vẫn chưa biết áp dụng, bạn có thể cho mình một lời giải cụ thể bằng kiến thức trung học cơ sở được không?

Đối với câu hỏi của bạn, chỉ cần áp dụng Định đề Bertrand thì luôn tồn tại một số nguyên tố nằm trong khoảng $(p, 2p)$. Còn chứng minh của Định đề Bertrand thì không có chứng minh nào dành cho THCS. Tuy nhiên chứng minh của Erdos cũng đủ cho một học sinh cấp 3 hiểu được.

Có hay không tồn tại $p$ nguyên tố và $n$ nguyên dương sao cho:
   $p$ là số nguyên tố lớn nhất trong dãy từ $1$ đến $n$ và $p<2p<n$

Câu trả lời là không tồn tại. Đây là kết quả của Định lý Chebyshev (hay còn gọi Định đề Bertrand). Có thể xem thêm tại đây.

Cho $\Delta ABC$ và một điểm $M$ nằm trong tam giác. Gọi $D;E;F$ lần lượt là chân đường vuông góc từ $M$ xuống $BC;CA;AB$. Chứng minh rằng:

$$\frac{a}{MD}.\overrightarrow{MD}+\frac{b}{ME}.\overrightarrow{ME}+\frac{c}{MF}.\overrightarrow{MF}=\overrightarrow{0}.$$

P/s: Mọi người có cách chứng minh nào không dùng định lí con nhím không ạ.

Nếu bạn chấp nhận một cách tính toán dài thì ta chỉ cần sử dụng các tính chất cơ bản của tích vô hướng. Đặt $e_{1}=\tfrac{\overrightarrow{MD}}{MD}$, $e_{2}=\tfrac{\overrightarrow{ME}}{ME}$, $e_{3}=\tfrac{\overrightarrow{MF}}{MF}$, $u=ae_{1}+be_{2}+ce_{3}$. Chú ý rằng $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ là các véctơ đơn vị. Ta có

$$e_{1}.e_{2}=\|e_{1}\|\|e_{2}\|\cos{(e_{1},e_{2})}=-\cos{(\overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CA})}=\cos{(\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{CA})}.$$

Tương tự thì

$$e_{2}.e_{3}=\cos{(\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{AB})},\quad e_{3}.e_{1}=\cos{(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC})}.$$

Do đó,

$$u.u=BC^{2}+CA^{2}+AB^{2}+2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{AB}=(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB})^{2}=0.$$

Như vậy ta phải có $u=\overrightarrow{0}$.

Dạ em cảm ơn thầy đã nhắc nhở ạ, em sẽ sửa đổi và rút kinh nghiệm lần sau ạ. Em cảm ơn thầy ạ. 

Em cần gì trả lời nghiêm túc vậy chỉ là một lỗi nhỏ thôi. Hy vọng tương lai sẽ có nhiều bài toán hình đơn giản mà đẹp thế này.

Chào mọi người. 

Gần đây, mình có đọc được một bài toán hình học khá đẹp trên tạp chí Pi. Vì vậy, mình quyết định nghiên cứu thêm về các tính chất của bài toán đấy và cũng có được đôi chút phát hiện mới. Xin gửi mọi người những phát hiện ấy trong đường link dưới đây: https://drive.google...iew?usp=sharing.

Nếu các bạn có những phát hiện mới, hoan nghênh các bạn đăng lên dưới post này. 

Mình xin cảm ơn. 

Em chú ý rằng điểm vô cùng trong mặt phẳng xạ ảnh không phải là duy nhất. Do đó câu 'đồng quy tại điểm vô cùng' nên được sửa thành 'đồng quy tại một điểm vô cùng'.