Đến nội dung


Chú ý

Nếu không nhận được email từ diễn đàn, bạn hãy kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org".


vutuanhien

Đăng ký: 10-08-2012
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 16:49
****-

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Kinh nghiệm ôn thi hsg toán THPT

30-09-2022 - 17:33

em cũng vừa mới biết tỉnh em không tổ chức thi HSG cho khối 10 mà chỉ có 11,12 thôi ạ ,thế nên mọi năm các anh chị toàn thi vượt cấp .Bây giờ nếu muốn em lại phải ôn của cả lớp 11 nữa mà thời gian ko bt đủ hay ko :( .Mới lại năm nay thi của CT cũ mà bọn e lại học CT mới thành ra cứ loạn hết cả lên. các anh\chị có thể cho e xin lời khuyên nên làm thế nào được không ạ?

Nếu em đặt mục tiêu thi HSG cấp tỉnh/thành phố thì có thể tìm kiếm đề thi các năm trước xem cần phải học những kiến thức gì. Còn nếu muốn thi HSG quốc gia thì chương trình SGK không quan trọng lắm đâu, chủ yếu là tìm tài liệu tham khảo. Tất nhiên đây chỉ là lời khuyên trên khía cạnh thi cử, còn những điều quan trọng hơn thế thì anh Nesbit đã nói hết ở bên trên rồi: Sinh hoạt điều độ, cân bằng giữa cuộc sống và việc học, trải nghiệm và tìm kiếm thêm những niềm vui có ích khác bên cạnh Toán học. 


Trong chủ đề: Tồn tại $f$ sao cho $\lim_{a\to 0}...

22-09-2022 - 09:49

Anh check thì thấy đúng như vậy nhưng nhìn lại thấy cận dưới của em là $0$ nên mới hỏi lại để xác minh. Cách phân loại này anh cũng từng đọc trong sách nhưng không bao giờ nhớ nổi, và cũng không hiểu tại sao lại phân ra như vậy. Đối với anh thì hai kiểu này không có gì khác nhau, nhưng có thể anh bỏ sót điều gì đó chăng?

 

Đúng là nếu đổi cận thành $1$ thì kết quả ra rất đẹp khi đổi biến. Ví dụ này anh cũng có biết trước khi đăng bài.

 

Về ý tưởng để giải bài này, thì một cách tự nhiên ta sẽ cố gắng tìm $f$ sao cho $\int |f|$ không bị chặn, đồng thời $f$ đổi dấu liên tục trên $(0, 1]$ để hi vọng khi lấy tích phân của $f$ thì các khoảng sẽ triệt tiêu lẫn nhau. Ví dụ mà vutuanhien đưa ra ở trên cũng là một hàm đổi dấu liên tục như vậy. Nesbit tìm được một ví dụ khác như sau (với $n\ge 1$):

\begin{equation}f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x},&\mbox{nếu } x\in\left(\frac{1}{2n+1},\frac{1}{2n}\right] \\
-\frac{1}{x},&\mbox{nếu } x\in\left(\frac{1}{2n},\frac{1}{2n-1}\right] \end{cases}.\end{equation}

 

(Trên thực tế thì ví dụ trên không phải mình mò ra ngay mà được chọn ra từ một kết quả tổng quát hơn, mai sẽ đăng tiếp vì bây giờ phải off mất rồi.)

Lúc đầu em cũng có nghĩ đến các hàm $1/x^{\alpha}$ vì tích phân của các hàm này đã biết rõ sự hội tụ. Em cũng nghĩ phải cho $f$ đổi dấu, nhưng quả thật là không nghĩ đến ví dụ của anh vì nghĩ trong đầu rằng tích phân của $1/x$ không hội tụ chứ không nghĩ khi cho đổi dấu thì chúng sẽ triệt tiêu.


Trong chủ đề: Tồn tại $f$ sao cho $\lim_{a\to 0}...

21-09-2022 - 10:16

Định nghĩa loại 1 loại 2 chính xác là thế nào ấy em nhỉ? Tích phân ở trên có vẻ thuộc cả hai vì cận dưới cũng là limit nốt (hoặc có thể em nhầm $1$ thành $0$).

Vâng em viết nhầm ạ, phải là 1. Tích phân suy rộng loại I là tích phân có cận vô cùng, còn tích phân suy rộng loại II là tích phân trên khoảng hữu hạn mà hàm có điểm kỳ dị trên khoảng này ạ.

 

Nếu dùng phép đổi biến $t=1/x$ thì tích phân $\int_{1}^{\infty}\dfrac{\sin{x}}{x}dx$ trở thành $\int_{0}^{1}\dfrac{\sin{(1/t)}}{t}dt$, nên có thể chọn $f(x)=\dfrac{\sin{(1/x)}}{x}$ cho câu hỏi ban đầu của anh. Một điều em thấy hơi lạ là trong các sách giải tích em đọc thì có rất ít ví dụ về tích phân suy rộng loại II.


Trong chủ đề: Tồn tại $f$ sao cho $\lim_{a\to 0}...

20-09-2022 - 21:15

Chứng minh tồn tại hàm số $f:(0,1]\to\mathbb{R}$ khả tích trên $[a,1]$ với mọi $a>0$ sao cho

$\lim_{a\to 0} \int_a^1 f(x)dx$ tồn tại nhưng $\lim_{a\to 0} \int_a^1 |f(x)|dx$ không tồn tại.

Lâu ngày không động đến mấy cái này nên em cũng chưa nghĩ ra được phản ví dụ nào cho hội tụ có điều kiện kiểu này. Nếu là tính phân suy rộng loại I thì có ví dụ đó là $\int_{1}^{\infty}\dfrac{\sin{x}}{x}dx$. Có lẽ bằng một phép đổi biến có thể đưa tích phân này về tính phân suy rộng loại 2.
 


Trong chủ đề: $X$ compact, $(f_n)$ liên tục trên $X$,...

20-09-2022 - 20:49

Cho $X$ compact và $(f_n)_{n\ge 1}$ là một dãy các hàm số liên tục trên $X$, $f_n\to f$ trên $X$ với $f$ liên tục trên $X$, đồng thời $f_n(x) \ge f_{n+1}(x) \forall x\in X,\forall n$. Chứng minh rằng $f\to f_n$ đều (converges uniformly) trên $X$.

 

Đây là một định lý khá quen thuộc trong giải tích, mình đang ôn lại vài kiến thức cũ nên tình cờ thấy nó. Cách chứng minh của mình khác với trong sách nên thấy có chút thú vị, đăng lên đây để anh em cùng thảo luận, tập chút thể dục đầu tuần cũng hay.

Em cũng rất tò mò về chứng minh của anh Nesbit. Ở đây chắc em trình bày lại chứng minh thuộc dạng kinh điển trong nhiều sách.

 

Xét $g_{n}=f_{n}-f$ thì ta vẫn có $g_{n}$ liên tục, đơn điệu trên $X$ và $g_{n}$ hội tụ điểm tới $0$. Với mỗi $\epsilon> 0$ xét tập $U_{n}=\left\{x\in X: g_{n}(x)<\epsilon\right\}$ thì $U_{n}$ mở trong $X$ vì $g_{n}$ liên tục, và hơn thế nữa ta có $U_{n}\subset U_{n+1}$ vì $g_{n}\ge g_{n+1}$. Ta lại có $g_{n}$ hội tụ (điểm) tới $0$ nên với mỗi $x\in X$ lại tồn tại $n$ để $g_{n}(x)< \epsilon$. Vì vậy $\left\{U_{n}\right\}$ là một phủ mở của $X$. Sử dụng tính chất compact của $X$ ta chọn ra được một phủ mở hữu hạn và gọi $k$ là chỉ số lớn nhất trong phủ mở này. Từ tính đơn điệu của $U_{n}$ bên trên ta phải có $X=U_{k}=U_{k+1}=...$. Như vậy $g_{n}(x)<\epsilon$ với mọi $x\in X$ và với mọi $n\ge k$, tức là $\|f_{n}(x)-f(x)\|<\epsilon$ với mọi $x\in X$ và $n\ge k$. Đây chính là định nghĩa của hội tụ đều.