vutuanhien

Cho đa thức $P(x)\in\mathbb{Z}[x]$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên $x_{0}$ sao cho $P(x_{0})$ là hợp số.

Đề bài này cần thêm giả thiết $P(x)$ không phải hàm hằng. Ta có thể chứng minh khẳng định mạnh hơn là tồn tại vô hạn $x_{0}$ sao cho $P(x_{0})$ là hợp số. Vì bậc của $P$ ít nhất bằng 1 nên $\lim_{x\to \infty}P(x)=\pm \infty$. Do đó có một số $m$ thỏa mãn $P(m)\neq \pm 1$. Gọi $p$ là một ước nguyên tố của $P(m)$ và xét các số

$$P(m+p), P(m+2p), P(m+3p),\dots$$

Có $P(m+kp)-P(m)$ chia hết cho $kp$ nên $P(m+kp)$ chia hết cho $p$ với mọi $k=1,2,3,\dots$. Vì phương trình $P(x)=\pm p$ chỉ có hữu hạn nghiệm nên trong các số $P(m+p), P(m+2p),\dots$ cũng chỉ có hữu hạn số nguyên tố. Do đó có vô hạn hợp số trong dãy này.

Ta có thể chứng minh một kết quả tổng quát hơn. Với mỗi $\alpha\in \mathbb{C}$, đa thức tối tiểu của $\alpha$ trên $\mathbb{Q}$ là đa thức monic $m_{\alpha}(x)\in \mathbb{Q}[x]$ nhận $\alpha$ làm nghiệm và có bậc nhỏ nhất có thể.

Mà $x\rightarrow x_0$ khi và chỉ khi $u(x)\rightarrow u(x_0)$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( {u(x)} \right) - f\left( {u({x_0})} \right)}}{{u(x) - u({x_0})}} = \mathop {\lim }\limits_{u(x) \to u({x_0})} \frac{{f\left( {u(x)} \right) - f\left( {u({x_0})} \right)}}{{u(x) - u({x_0})}} = f'\left( {u({x_0})} \right).$

 

Em có thắc mắc: Tại sao người ta lại gọi thêm hàm $\varepsilon?$ Em chưa thật sự hiểu công dụng của nó lắm và liệu có thể chứng minh mà không sử dụng hàm $\varepsilon$ như trên hay không. Mong mọi người giải đáp ạ.

Điểm tế nhị là ở đẳng thức này. Em định nghĩa thế nào là $\mathop {\lim }\limits_{u(x) \to u({x_0})} \frac{{f\left( {u(x)} \right) - f\left( {u({x_0})} \right)}}{{u(x) - u({x_0})}}$? Mặc dù trực giác ở đây tương đối rõ ràng, nhưng trong chứng minh ta phải bám vào định nghĩa đã có. Ngoài ra đẳng thức trên của em chưa tính đến trường hợp $u(x)\equiv u(x_{0})$ trong một khoảng nào đó quanh $x_{0}$.

Về chứng minh của đạo hàm của hàm hợp, ta có thể bám theo ngôn ngữ $\epsilon-\delta$. Như vậy em cần chứng minh với mọi $\epsilon>0$ thì có $\delta>0$ sao cho với $|x-x_{0}|<\delta$ thì

\begin{equation} |\dfrac{f(u(x))-f(u(x_{0}))}{x-x_{0}}-f'(u(x_{0})).u'(x_{0})|<N\epsilon \end{equation}

với $N>0$ cố định. Trực giác là ta viết lại

$$|\dfrac{f(u(x))-f(u(x_{0}))}{x-x_{0}}-f'(u(x_{0}).u'(x_{0})|=|\dfrac{f(u(x))-f(u(x_{0}))}{u(x)-u(x_{0})}.\dfrac{u(x)-u(x_{0})}{x-x_{0}}-f'(u(x_{0}).u'(x_{0})|$$

rồi xấp xỉ từng thừa số bởi các đạo hàm tương ứng. Đến đây ta cần đánh giá một biểu thức có dạng $f'.g'-f.g$. Để dễ biến đổi đại số, ta thường đặt $f'=f+h_{1}$, $g'=g+h_{2}$. Đây cũng là lý do vì sao người ta đặt hàm $\epsilon$ trong chứng minh của em. Nhưng để tránh sự phiền phức của phép chia, ta chuyển qua phép nhân. Ta có

$$\lim_{y\to u(x_{0})}\dfrac{f(y)-f(u(x_{0}))}{y-u(x_{0})}=f'(u(x_{0}))$$

Như vậy với mọi $\epsilon>0$, tồn tại $\delta_{1}>0$ sao cho với $|y-u(x_{0})|<\delta_{1}$ thì

$$|f(y)-f(u(x_{0}))-f'(u(x_{0}))(y-u(x_{0}))|<\epsilon.|y-x_{0}|.$$

Vì $u$ liên tục tại $x_{0}$ nên có $\delta_{2}>0$ sao cho $|x-x_{0}|<\delta_{2}$ thì $|u(x)-u(x_{0})|<\delta_{1}$. Với $x$ như vậy, ta sẽ có

$$|f(u(x))-f(u(x_{0}))-f'(u(x_{0}))(u(x)-u(x_{0}))|<\epsilon.|u(x)-u(x_{0})|.$$

Tương tự, tồn tại $\delta_{3}>0$ sao cho với $|x-x_{0}|<\delta_{3}$ thì

$$|u(x)-u(x_{0})-u'(x_{0}).(x-x_{0})|<\epsilon.|x-x_{0}|$$

Nhìn vào BĐT (1) thì ta cần đánh giá

$$|f(u(x)-f(u(x_{0}))-f'(u(x_{0})).u'(x_{0}).(x-x_{0})|<N\epsilon.|x-x_{0}|$$

Đến đây ta chỉ cần dùng BDT tam giác. Chọn $\delta=\min(\delta_{2},\delta_{3})$ thì với $|x-x_{0}|<\delta$ ta có

$|f(u(x)-f(u(x_{0}))-f'(u(x_{0})).u'(x_{0}).(x-x_{0})|$

$\le |f(u(x)-f(u(x_{0}))-f'(u(x_{0})).(u(x)-u(x_{0})|+|f'(u(x_{0})).[u(x)-u(x_{0})-u'(x_{0}).(x-x_{0})|$

$<\epsilon.|u(x)-u(x_{0})|+\epsilon.|f'(u(x_{0}))|.|x-x_{0}|$

$<\epsilon.|u(x)-u(x_{0})-u'(x_{0}).(x-x_{0})|+\epsilon.|u'(x_{0})|.|x-x_{0}|+\epsilon.|f'(u(x_{0}))|.|x-x_{0}|$

$\le\epsilon.|x-x_{0}|.N$

với $N=1+|u'(x_{0})|+|f'(u(x_{0}))|$. Đây là điều phải chứng minh.

Chứng minh này không phải chứng minh hay nhất và cũng không hề ngắn gọn. Nhưng nó là một ví dụ tốt để em làm quen với các ước lượng $\epsilon-\delta$. Về một chứng minh ngắn gọn, em xem https://proofwiki.or...posite_Function

Cái này không phải toán Nhưng theo mình biết thì xuống dòng sang câu mới thì phải viết hoa chữ cái đầu tiên chứ nhỉ ?

Lúc trước em cũng hay viết như thế, nhưng em nghĩ cách viết đó không đúng. Sau dấu hai chấm dù có xuống dòng thì vẫn chỉ được tính là các ý riêng lẻ trong cùng một câu chứ chưa phải một câu mới, nên không viết hoa chữ đầu dòng. Vì vậy nên ta chỉ dùng cách trình bày này khi muốn liệt kê.

Thật ra ngay trong các văn bản hành chính của nước ta cũng không thống nhất cách viết. Sau này nghị định của chính phủ mới nói rõ không viết hoa sau dấu hai chấm, nhưng nhìn chung chúng ta vẫn chưa có một bộ quy tắc nhập liệu đầy đủ như các quốc gia khác.

Em lấy một ví dụ trong tiếng Anh như hình đính kèm dưới đây.

 Screenshot 2025-01-12 at 18.59.21.png   102.44K   1 Số lần tải

 

Hi, mọi người em là thành viên mới và cũng là một sinh viên năm nhất. Em tham gia vào diễn đàn này là để đôi lúc chia sẻ các suy nghĩ của mình về Toán, em cảm thấy rất vui và hứng thú. Vì thế nên bài viết đầu tiên em xin gửi đến các bậc tiền bối một bài toán do em nghĩ ra để mọi người tham khảo và nhận định lại giúp em nếu như có sai sót ở đâu ạ. Em xin cảm ơn rất nhiều, và một điều nữa là bài toán này em nghĩ chỉ ở trình độ các bạn lớp 5 lớp 6 thôi, chủ yếu là em coi lại cách ra đề của em nó có "mượt" hay không thôi ạ, nên có gì thì em xin các bậc tiền bối chỉ bảo thêm ạ. Và sau đây là bài toán của em:

 

Một buổi sáng đẹp trời bạn L chạy bộ như thường ngày, một hôm sau khi tập luyện xong bạn L nhìn đồng hồ và thống kê ra được trong 4km bạn L chạy được 25 phút. Và rồi bạn L tự đặt câu hỏi cho mình rằng: 

a/ Mỗi 1km L chạy được bao nhiêu phút 

b/ Mỗi 100m L chạy được bao nhiêu giây

c/ Tính phần trăm của mỗi 100m trong 4km 

d/ Tính số giây tương ứng với mỗi 100m và phần trăm số giây trong 25 phút

 

Nếu xét về mặt câu chữ thì sau dấu hai chấm chưa phải hết câu. Do đó ta không viết hoa đầu dòng sau dấu hai chấm, và phải dùng dấu chấm phẩy để ngắt giữa mỗi câu hỏi thay vì dấu chấm. Ngoài ra "chạy được bao nhiêu phút" nghe cũng hơi không thuận tai lắm.