vietthanh

Tìm số bộ n số nguyên $(a_{1},....a_{n})$ thỏa mãn:

$\left | a_{i} \right | \leq 1$ với mọi i

$\left | a_{i} -a_{i+1}\right |\leq 1$ với mọi i

 

Cho $a,b,c> 0$

Chứng minh:

$(a+\frac{bc}{a})(b+\frac{ac}{b})(c+\frac{ab}{c})\geq 4\sqrt[3]{(a^{3}+b^{3})(b^{3}+c^{3})(c^{3}+a^{3})}$

Kí hiệu: $S(n)$ là tổng các chữ số của n. Biết: $S(n)=100$ $S(44n)=800$ tính giá trị của $S(3n)$

Mình có một số bài toán khó với điều kiện abc=1 mong mọi người giúp đỡ:

1. $a,b,c>0 abc=1$ Chứng minh:

$\sum (16a^{2}+9)^{\frac{1}{2}}\geq 4(a+b+c)+3$

2. Điều kiện tương tự, chứng minh:

$\sum (\frac{x}{x^{3}+1})^{5}\leq \frac{3}{32}$

Tìm hằng số k lớn nhất để:

$\sum (\frac{x}{x^{3}+1})^{k}\leq \frac{3}{2^{k}}$

3. Điều kiện tương tự, chứng minh:

$\sum (\frac{1}{a+2})^{3}\geq \frac{1}{9}$

Tất cả chúng ta đều đã nghe SOS là một phương pháp có thể giải được hầu hết các bài bất đẳng thức đối xứng 3 biến không có căn. Thế nhưng khi giải bài toàn này, em còn một mắt xích rất nhỏ gần như hiển nhiền nhưng không thể nào chứng minh được. Mong mọi người làm ơn bớt chút thời gian để giúp đỡ em với, em mới bắt đầu tiếp cận với phương pháp này cho nên chưa sử dụng thành thạo:
$\frac{abc}{a^{3}+b^{^{3}}+c^{^{3}}}-\frac{a^{2}b^{2}c^{2}}{a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}a^{3}}\geq -\frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{2}{3}-\frac{a^{2}b^{2}c^{2}}{a3^{}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}a^{3}}\geq \frac{1}{3}-\frac{abc}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}\Leftrightarrow \sum (b-c)^{2}\frac{2a^{2}(ab+bc+ca)}{6a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}a^{3}}\geq \sum (b-c)^{_{2}}\frac{a+b+c}{6(a^{3}+b^{3}+c^{3})}\Leftrightarrow S_{a}(b-c)^{2}+S_{b}(c-a))^{2}+S^{_{c}}(a-b)^{2}\geq 0 S_{a}= 2a^{2}(ab+bc+ca)(a^{3}+b^{3}+c^{3})-(a+b+c)(a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}a^{3}), S_{b}, S_{c} a\geq b\geq c\Rightarrow S_{a}\geq S_{b}\geq S_{c}$$\frac{abc}{a^{3}+b^{^{3}}+c^{^{3}}}-\frac{a^{2}b^{2}c^{2}}{a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}a^{3}}\geq -\frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{2}{3}-\frac{a^{2}b^{2}c^{2}}{a3^{}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}a^{3}}\geq \frac{1}{3}-\frac{abc}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}\Leftrightarrow \sum (b-c)^{2}\frac{2a^{2}(ab+bc+ca)}{6a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}a^{3}}\geq \sum (b-c)^{_{2}}\frac{a+b+c}{6(a^{3}+b^{3}+c^{3})}\Leftrightarrow S_{a}(b-c)^{2}+S_{b}(c-a))^{2}+S^{_{c}}(a-b)^{2}\geq 0 S_{a}= 2a^{2}(ab+bc+ca)(a^{3}+b^{3}+c^{3})-(a+b+c)(a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}a^{3}), S_{b}, S_{c} a\geq b\geq c\Rightarrow S_{a}\geq S_{b}\geq S_{c}$
đến đây thì em không thể nào chứng minh được Sb+Sc>= 0 cho dù chúng trừ đi nhau chỉ còn duiy nhất 2 phần tử mang dấu trừ