NS2T

Từ pt 1 , ta có :

${\sqrt{x+y}^{}}-\sqrt{x-y}=2 \Rightarrow x-\sqrt{x^2-y^2}=2$

Pt 2 tương đương với :

$x^2+y^2+1=x^2-y^2+9+6\sqrt{x^2-y^2}\Leftrightarrow 2y^2-9=6\sqrt{x^2-y^2}$ (*)

nên : $2y^2-9=6x-12\Leftrightarrow y^2=3x-\frac{3}{2}$

Thế vào (*) , ta có:

$x-\sqrt{x^2-3x+\frac{3}{2}}=2$

Chuyển vế sang bình phương là xong

Biến đổi phương trình về dạng sau :

$\frac{2}{\sqrt{x}}\sqrt{\frac{4}{x}+4}=(-y)\sqrt{(-y)^2+4}$

Dựa vào pt 2 ta thấy y âm nên xét hàm sau :

$f(t)=t\sqrt{4+t^2}$ với t dương


Dễ thấy :

$f'(t)>0$ mà $f(\frac{2}{\sqrt{x}})=f(-y)\Rightarrow -y=\frac{2}{\sqrt{x}}$

Tới đây thế vào pt1 là xong

Xét khai triển sau :

$(1+x)^{2012}=C^0_{2012}+xC^1_{2012}+x^2C^2_{2012}+. . .+x^{2012}C^{2012}_{2012}$$(1+x)^{2012}=C^0_{2012}+xC^1_{2012}+x^2C^2_{2012}+. . .+x^{2012}C^{2012}_{2012}$

Thay x=1 , ta có :

$(1+1)^{2012}=C^0_{2012}+C^1_{2012}+C^2_{2012}+. . .+C^{2012}_{2012}$

Thay x=a , ta có :

$(1+a)^{2012}=C^0_{2012}+aC^1_{2012}+a^2C^2_{2012}+. . .+a^{2012}C^{2012}_{2012}$

Thay $x=a^2$ , ta có :

$(1+a^2)^{2012}=C^0_{2012}+a^2C^1_{2012}+a^4C^2_{2012}+. . .+a^{4024}C^{2012}_{2012}$

Thay $x=a^3$ , ta có :

$(1+a^3)^{2012}=C^0_{2012}+a^3C^1_{2012}+a^6C^2_{2012}+. . .+a^{6036}C^{2012}_{2012}$

Lấy $a^4=1\Leftrightarrow (a-1)(a^3+a^2+a+1)=0$ , cộng lần lượt tất cả các vế của từng phương trình trên ta có :

$2^{2012}+(1+a)^{2012}+(1+a^2)^{2012}+(1+a^3)^{2012}=4(C^0_{2012}+C^4_{2012}+. . .+C^{2012}_{2012})$

(Vì khi cộng vào thì các hạng tử không chứa $C^{4k}_{2012}$ sẽ bị triệt tiêu )

Ta có :
$1+a=1+cos(\frac{\Pi }{2})+isin(\frac{\Pi }{2})=2cos(\frac{\Pi }{4})(cos(\frac{\Pi }{4})+isin(\frac{\Pi }{4}))$ nên ta có :

$(1+a)^{2012}=2^{2012}cos(\frac{\Pi }{4})^{2012}(cos(503\Pi )+isin(503\Pi))=-2^{1006}$

$1+a^2=1+cos(\Pi )+isin(\Pi )=0$

$1+a^3=1+cos(\frac{3\Pi }{2} )+isin(\frac{3\Pi }{2})=2cos\frac{3\Pi }{4}(cos\frac{3\Pi }{4}+isin\frac{3\Pi }{4})\Rightarrow (1+a^3)^{2012}=-2^{1006}$

Vậy $S=2^{2010}-2^{1005}$

@@~ : Hớ , cơm đưa tới miệng rùi còn vãi . . .

1 cách nhìn nhận khác đối với bài toán này như sau :

Gọi k là hệ số góc của 2 tiếp tuyến . Ta có : k là nghiệm của phương trình :

$y'=k \Leftrightarrow 3x^2-6x=k$ (1)

Do A, B phân biệt nên pt trên phải có 2 nghiệm nên $k> -3$ . Khi đó gọi $x_{1} , x_{2}$ là 2 nghiệm của (1) , ta có :

$\left\{\begin{matrix} x_{1} +x_{2}=2 & & \\ x_{1} x_{2}=\frac{-k}{3}& & \end{matrix}\right.$

Ta có :

$y=(\frac{1}{3}x-\frac{1}{3})(3x^2-6x)-2x+2$

nên $y_{1}=(\frac{1}{3}x_{1} -\frac{1}{3})(3x_{1} ^2-6x_{1} )-2x_{1} +2=(\frac{1}{3}x_{1} -\frac{1}{3})k-2x_{1} +2$

$\Rightarrow y_{1}-y_{2}=(x_{1}-x_{2})(\frac{k}{3}-2)$

Từ đó , $AB^2=(x_{1}-x_{2})^2+(y_{1}-y_{2})^2=(x_{1}-x_{2})^2(1+(\frac{k}{3}-2)^2)=32$ mà $(x_{1}-x_{2})^2=(x_{1}+x_{2})^2-4x_{1}x_{2} nên$

$\Leftrightarrow (4+\frac{4k}{3})(1+(\frac{k}{3}-2)^2)=32$$\Leftrightarrow k=9$

nên $A(-1;-2); B(3;2)$ hoặc ngược lại !

Bài giải đã có tại đây , đặt mỗi 2x=t là giống nhau : http://diendantoanho...343-x3x2-2x-10/