duyhunter142857

Bài 3:(4 điểm)
Giải phương trình sau với nghiệm nguyên dương:
$$\frac{2013}{x+y}+\frac{x}{y+2012}+\frac{y}{4025}+\frac{2012}{2013+x}=\frac{2}{z}$$
Cho a=2003, b=x, c=y, d=2012. Ta có:
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}=\frac{2}{z}$
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}=\frac{a^2}{a(b+c)}+\frac{b^2}{b(c+d)}+\frac{c^2}{c(d+a)}+\frac{d^2}{d(a+b)}\geq \frac{(a+b+c+d)^2}{ab+bc+cd+da+2ac+2bd}\geq 2$
Dấu "=" xảy ra khi a=c và b=d hay x=2012 và y=2003
$\frac{2}{z}\leq 2$ do $z\geq 1$