15 8 2022

Bài toán [ Tham Lang]
Cho $x_1, x_2, ..., x_n$ là các biến dương và $m_1, m_2, ..., m_n; a_1, a_2, ..., a_n$ là các tham số dương. Tìm GTNN của :
$$P= \dfrac{1}{x_1 x_2...x_n}+m_1 x_1^{a_1}+m_2x_2^{a_2}+...+m_n x_n^{a_n}$$

Áp dụng BĐT AM-GM suy rộng, ta có :
$$\sum_{i=1}^{n}{m_1 x_1^{a_1}} = \sum_{i=1}^{n}\left (a_{2}a_{3}...a_{n}.\dfrac{m_{1}x_{1}^{a_1}}{a_{2}a_{3}...a_{n}}\right )$$ $$ \ge \sum_{i=1}^{n}{a_{2}a_{3}...a_{n}}.\left [\prod_{i=1}^{n}{\left (\dfrac{x_1^{a_1}m_1}{a_{2}a_{3}...a_{n}}\right )^{a_{2}...{a_n}}}\right ]^{\dfrac{1}{\sum_{i=1}^{n}{a_{2}a_{3}...a_{n}}}}$$ $$ =\sum_{i=1}^{n}{a_{2}a_{3}...a_{n}}\prod_{i=1}^{n}{\left ( \dfrac{m_1}{a_{2}a_{3}...a_{n}}\right )^{\dfrac{a_{2}a_{3}...a_{n}}{\sum_{i=1}^{n}{a_{2}a_{3}...a_{n}}}}}\left (x_{1}x_{2}...x_{n}\right )^{\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{n}}{\sum_{i=1}^{n}{a_{2}a_{3}...a_{n}}}}$$
Đặt $=\sum_{i=1}^{n}{a_{2}a_{3}...a_{n}}\prod_{i=1}^{n}{\left ( \dfrac{m_1}{a_{2}a_{3}...a_{n}}\right )^{\dfrac{a_{2}a_{3}...a_{n}}{\sum_{i=1}^{n}{a_{2}a_{3}...a_{n}}}}} =\alpha, \dfrac{a_{1}a_{2}...a_{n}}{\sum_{i=1}^{n}{a_{2}a_{3}...a_{n}}}=\beta, x_{1}x_{2}...x_{n}=\gamma$
Lúc đó, áp dụng tiếp AM-GM suy rộng, ta có :
$$=\dfrac{1}{\gamma}+\alpha\gamma^{\beta}=\beta\alpha\dfrac{1}{\gamma.\beta\alpha}+\alpha\gamma^{\beta} \ge \left (\beta\alpha+\alpha
\right )\left [\dfrac{1}{\left (\gamma\alpha\beta\right )^{\beta\alpha}}.\gamma^{\alpha\beta}\right ]^{\dfrac{1}{\alpha\beta+\alpha}}$$ $$=\dfrac{\alpha\beta+\alpha}{\left (\alpha\beta \right )^{\dfrac{\beta}{\beta+1}}}$$
Từ đó ta có GTNN của P. Bài sau làm tương tự, chỉ khác có một vài chỗ.

BĐT trên ngược chiều rồi bạn ạ. ( Thử với bộ $(1;0,5;0,5)$ thấy ngay )
BĐT đúng phải là:

\[
\begin{array}{l}
\frac{{a + b + c}}{3} \le \sqrt[{10}]{{\frac{{a^3 + b^3 + c^3 }}{3}}} \\
\Leftrightarrow \left( {a + b + c} \right)^{10} \le 3^9 .\left( {a^3 + b^3 + c^3 } \right) \\
\Leftrightarrow \left( {a + b + c} \right)^{10} \le \left( {1 + 1 + 1} \right)^9 \left( {a^3 + b^3 + c^3 } \right)\,\,\left( * \right) \\
\end{array}
\]
Dễ thấy $( *)$ luôn đúng theo BĐT Holder. Dấu $=$ khi $a=b=c=1$
P/s: ĐK: $abc=1$ có vẻ hơi vô duyên.

Holder không cho ta như thế anh ạ. Nếu Holder thì phải là $(1+1+1)^9\left (a^3+b^3+c^3\right )\ge \left (a^{\dfrac{3}{10}}+b^{\dfrac{3}{10}}+c^{\dfrac{3}{10}}\right )^{10}$. Và bộ $(1; 0,5; 0,5)$ đâu thoả mãn $abc=1$ ạ. Đúng như bạn yellow nói, đây thực sự là bài toán khó. Một số biến tấu làm bài toán dễ hơn là thay đổi điều kiện, và em nhớ không nhầm là trong các kì thi thử đại học năm vừa rồi cũng có trường làm điều này.