mrduc14198

Ta sẽ chứng minh $\frac{a}{a^2+1} \leq \frac{6(3a-1)}{25}+\frac{3}{10}$

Trên là bất đẳng thưc1 biến, quy đồng mẫu thức ta được bđt tương đương là 

                $\frac{36a^3}{5}+\frac{3a^2}{5}-\frac{14a}{5}+\frac{3}{5} \geq 0$

      $\Leftrightarrow (4a+3)(3a-1)^2 \geq 0$, luôn đúng do $a>0$

Tương tự ta cũng có $\frac{b}{b^2+1} \leq \frac{6(3b-1)}{25}+\frac{3}{10}$

                                 $\frac{c}{c^2+1} \leq \frac{6(3c-1)}{25}+\frac{3}{10}$

Cộng 3 bđt trên lại ta được 

                             $\sum \frac{a}{a^2+1} \leq \sum \frac{6(3a-1)}{25}+\frac{3}{10}=\frac{9}{10}$, do $a+b+c=1$

Hay $\sum \frac{10a}{a^2+1} \leq 9$

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Anh ơi em cảm ơn anh , cách của anh hay quá !

Anh cho em hỏi là anh căn cứ vào đâu để tìm cái phân số $\frac{6(3a-1)}{25}$ mà ko là  (3a-1) . Còn cái chỗ anh cộng thêm 3/10 thì e hiểu rồi .

Em mới lớp 9 , anh có cách nào khác ko ạ ( VD như áp dụng Côsi , bunhia , ....)

Em cảm ơn anh nhìu !

hjx anh chủ 2pic tố cáo em , em nhớ rồi nha !

Cảm ơn 2 bạn nhiều nha .! còn 1 dạng , các bạn giúp mình luôn đi

Pt tương đương :
$[(2-x)-\sqrt{2-x^2}]+\sqrt{x-1}=0$
$\leftrightarrow \frac{(x^2-4x+4)-(2-x^2)}{(2-x)+\sqrt{2-x^2}}+\sqrt{x-1}=0$
$\leftrightarrow \frac{2(x-1)^2}{(2-x)+\sqrt{2-x^2}}+\sqrt{x-1}=0$
Từ đây dễ dàng suy ra $x=1...$

Bài 3: cách khác:
$2x^3=1+\sqrt[3]{\frac{x+1}{2}}\Leftrightarrow 8x^3+4x=4x+4+2\sqrt[3]{4x+4}$
Xét $f(t)=t^3+2t$ đồng biến trên R,
nên: $\sqrt[3]{4x+4}=2x$
Khoẻ rồi!

Em thực sự cảm ơn 2 anh rất nhìu nha , 2 anh giải hay quá . Có gì lần sau em mắc bài nào mọi người giải giùm em nha .Thanks 2 anh nhìu . E mới lớp 9 nên chưa thạo mấy hpt này lắm , hi hi

Điều kiện : $x,y,z>0$
Viết lại hệ thành :

$\left\{\begin{matrix} \frac{24}{x^{2}}+7=\frac{2009}{y}\\ \frac{24}{y^{2}}+7=\frac{2009}{z} \\ \frac{24}{z^{2}}+7=\frac{2009}{x} \end{matrix}\right.$

Không mất tính tổng quát, giả sử : $x=\max \left \{ x;y;z \right \}$
Khi đó ta có $x\geq y>0\Leftrightarrow 0<\frac{2009}{x}\leq \frac{2009}{y}\Rightarrow \frac{24}{z^{2}}\leq \frac{24}{x^{2}}\Leftrightarrow z^{2}\geq x^{2}\Leftrightarrow z\geq x$
Mà $x\geq z$ (do $x=\max \left \{ x;y;z \right \}$) nên $x=z$
Với $x=z$ ta có : $\frac{2009}{x}=\frac{2009}{z}\Leftrightarrow \frac{24}{y^{2}}=\frac{24}{z^{2}}\Leftrightarrow y=z$
Tóm lại $x=y=z$

Hệ trở thành : $\left\{\begin{matrix} x=y=z\\ \frac{24}{x^{2}}+7=\frac{2009}{x} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y=z\\ \frac{1}{x}=\frac{2009\pm \sqrt{4035409}}{48} \end{matrix}\right.$

Em cảm ơn anh nhìu ạ !

Anh có thể giải giùm em bài số 3 không ạ , em đã sửa lại đầu bài rồi đó ạ !