HuyenBi

ta có $\Delta GDH$ vuông tại D
=> $\angle DHG+\angle DGH=90^{\circ}$
mà tứ giác DGEF nội tiếp => $\angle DGH=\angle DFE=\angle IFE+\angle IFD$
mà tứ giác AEIF và IFBD nội tiếp nên $\angle IFE+\angle IFD=\frac{1}{2}(\angle BAC+\angle ABC)$=$90^{\circ}-\frac{\angle ACB}{2}$
nên $90^{\circ}-\frac{\angle ACB}{2}=\angle DGH$
nên $\angle DHG=\frac{1}{2}\angle ACB$
mà CD=CE nên H thuộc (C,CD) => CH=CD => $\Delta CDH$ cân tại C mà $\Delta BDF$ cân tại B nên ta có đfcm

$2\vec{MB}.\vec{MN}=(\vec{AB}+\vec{HB})(2\vec{MC}+\vec{BA})$
=$2\vec{AB}.\vec{MC}-AB^{2}+\vec{HB}.\vec{BA}$ (Vì $\vec{HB}.\vec{MC}=0$)
=$2\vec{AB}.(\vec{MH}+\vec{HC})-AB^{2}-\vec{BH}.\vec{BA}$
=$\vec{AB}.\vec{AH}+2\vec{BA}.\vec{BH}+2\vec{AB}.\vec{BC}-AB^{2}-\vec{BH}.\vec{BA}$
=$\vec{AB}.\vec{AH}+\vec{BA}.\vec{BH}-AB^{2}$ (Vì $\vec{AB}.\vec{BC}=0$ )
=$AH^{2}+BH^{2}-AB^{2}$
=0
=> ĐFCM

từ pt (1) ta có $y\geq 0$ kết hợp đkxđ ta có $x\geq 0$
pt (2) <=> $2x^{2}+(y-5)x+y^{2}-2y+3=0$
xét pt bậc 2 ẩn x ta có $\Delta =-7y^{2}+6y+1\geq 0$
<=>$(y-1)(7y+1)\leq 0$ nên ta có $0\leq y\leq 1$
xét y=0 thay vào (1) ta có $\sqrt{x^{2}+2x}=0$ mà $x\geq 0$ nên x=0 thay vào (2) ko thỏa mãn
xét $y\neq 0$ chia cả 2 vế của (1) cho y ta có
$\sqrt{(\frac{x}{y})^{2}+2(\frac{1}{y}-1)(\frac{x}{y}-1)}\: +\sqrt{\frac{x}{y}}=2$ (vì $y> 0$)
đặt $\frac{x}{y}=a, \frac{1}{y}=b$, với $a\geq 0,b\geq 1$ ta có
$\sqrt{a^{2}+2(a-1)(b-1)}+\sqrt{a}=2$
<=> $\frac{a^{2}+2(a-1)(b-1)-1}{\sqrt{a^{2}+2(a-1)(b-1)}+1}\: +\frac{a-1}{\sqrt{a}+1}=0$
<=> $(a-1)(\frac{a+2b-1}{\sqrt{a^{2}+2(a-1)(b-1)}+1}\: +\frac{1}{\sqrt{a}+1})=0$
<=> a=1 ( vì biểu thức trong ngoặc > 0 với $a\geq 0;b\geq 1$)
<=> x=y thay vào pt (2) giải ra x,y

cách biến đổi khác cho câu pt thứ 2
$x^{2}+a^{2}+\frac{1}{4}+2ax+x+a=a^{2}+x-\frac{1}{16}+\sqrt{a^{2}+x-\frac{1}{16}}+\frac{1}{4}$
<=> $(x+a+\frac{1}{2})^{2}=(\sqrt{a^{2}+x-\frac{1}{16}}+\frac{1}{2})^{2}$

vế trái có dạng $\sqrt{(\frac{a}{2}-b)^{2}+\frac{3}{4}a^{2}}+\sqrt{(b-\frac{c}{2})^{2}+\frac{3}{4}c^{2}}$
áp dụng bdt $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq \sqrt{(a+c)^{2}+(b+d)^{2}}$ ta có
VT $\geq \sqrt{(\frac{a}{2}-\frac{c}{2})^{2}+\frac{3}{4}(a+c)^{2}}$=$\sqrt{a^{2}+ac+c^{2}}$
dấu = xảy ra khi ac=b(a+c)