SupperN

bài 135:
Cho tam giác ABC, điểm I nằm trong tam giác, tia AI,BI,CI cắt 3 cạnh tại M N P
CMR : $\sqrt{\frac{IA}{IM}} + \sqrt{\frac{IB}{IN}} + \sqrt{\frac{IC}{IP}} \leq \frac{3}{2}$

còn 1 cách này nữa này

Ta sẽ làm theo bdt AM-GM

$\frac{a^2}{1+b-a} + a^2.(1+b-a) \geq 2a^2$
$\frac{b^2}{1+c-b} + b^2.(1+c-b) \geq 2b^2$
$\frac{c^2}{1+a-c} + c^2.(1+a-c) \geq 2c^2$

Cộng theo vế rồi rút gọn, ta được:
$\frac{a^2}{1+b-a}+\frac{b^2}{1+c-b}+\frac{c^2}{1+a-c} +a^2b + b^2c + c^2a - a^3 -b^3 - c^3 \geq 1$

Do đó, chỉ cần chứng minh bdt này

$a^3 +b^3 +c^3 \geq a^2b + b^2c + c^2a$

Mà bdt này dễ dàng chứng minh dựa vào bdt AM-GM cho 3 số

Vậy ta được đpcm