ablrise

Bài 51:Cho hàm liên tục $f:[0,+\infty)\to [0,1]$ thoả mãn $f(x+y)\leq f(x)f(y),\forall x,y\geq 0$.Chứng minh:$$\int_0^x f(t)dt \geq x\sqrt{f(2x)}.\forall x\geq 0$$

Một bài khá quen thuộc ,cần dùng thêm định lí Fubini để giải:
Bài 50:Cho hàm $f:[0;1]\to [0,+\infty)$ khả vi liên tục trên miền xác định.Đặt $M=\displaystyle \max_{x\in [0;1]} |f'(x)|$Chứng minh rằng:$$\left |\int_0^1 f^3\left(x\right)dx-f^2\left(0\right)\int_0^1 f\left(x\right)dx\right|\leq M \left(\int_0^1 f\left(x\right)dx\right)^2$$

Không chỉ bề ngoài mà cách chứng minh cũng hoàn toàn tương tự

Bạn chứng minh lời bạn nói bên trên được không ?

Một bài có nhiều ứng dụng trong tính giới hạn liên quan đến tích phân ;
Bài 35:Cho hàm $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ liên tục trên miền xác định với $0\leq a<b$ và cho hàm $g:[0,+\infty)\to\mathbb{R}$ liên tục ,tuần hoàn với chu kì $T$.Chứng minh rằng:$$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\int_a^b f(x)g(nx)dx =\dfrac{1}{T}\int_0^T g(x) \int_a^b f(x)dx$$
Một bài khác:
Bài 36:Cho hàm $f:[1+\infty)\to\mathbb{R}$ liên tục ,thoả mãn tồn tại giới hạn hữu hạn $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} xf(x)$
Chứng minh tồn tại giới hạn $\displaystyle\lim_{t \to +\infty} \int_{1}^{t} \dfrac{f\left(x\right)}{x}dx $ và $$ \displaystyle\lim_{n\to +\infty} n\int_{1}^{a}f\left(x^{n}\right)dx=\lim_{t\to +\infty}\int_1^t \dfrac{f\left(x\right)}{x}dx $$ với $a>1$

Bài trên có bề ngoài ''gần giống'' với một bài đã post của bạn phudinhgioihan khi đặc biệt hoá hai tham số $a,b$ :
Bài 48:Cho hàm số $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ khả vi liên tục trên miền xác định.
Đặt $M=\displaystyle\max_{x\in [ 0;1]} |f'(x)|,m=\displaystyle\min_{x\in [0;1]} |f'(x)|$.Chứng minh rằng :$$\dfrac{m^2}{12}\leq\displaystyle\int_0^1 f^2(x)dx-\left(\displaystyle\int_0^1 f(x)dx\right)^2 \leq \dfrac{M^2}{12}$$