dorabesu

Đổi các phương trình thành: $\left\{\begin{matrix}a_1x^2+b_1x+c_1=0 & & \\ a_2x^2+b_2x+c_2=0 & & \\ ............................. & & \\ a_nx^2+b_nx+c_n=0 & & \end{matrix}\right.$

Vậy thì đề là :
Cho hpt $\left\{\begin{matrix}a_1x^2+b_1x+c_1=0 & & \\ a_2x^2+b_2x+c_2=0 & & \\ ............................. & & \\ a_nx^2+b_nx+c_n=0 & & \end{matrix}\right.$
với $b_1.b_2...b_n\geq 2(a_1.c_1+a_2.c_2+...+a_n.c_n)$ à?

Cho $2$ pt bậc hai: $\left\{\begin{matrix} x^2+a_1x+b_1=0\\ x^2+a_2x+b_2=0 \end{matrix}\right.$
có các hệ số thỏa mãn điều kiện $a_1a_2\geq 2(b_1+b_2)$
CMR: ít nhất một trong hai pt trên có nghiệm

Giả sử cả 2 pt đều vô nghiệm suy ra $\Delta<0$
tức là $\left\{\begin{matrix}a_1^2-4b_1<0\\ a_2^2-4b_2<0\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow a_1^2.a_2^2<4(b_1.b_2)$
$\Rightarrow a_1.a_2<4\sqrt{b_1.b_2}$
Mà $4\sqrt{b_1.b_2}\leq 2(b_1+b_2)$ ( Cauchy )
Nên $a_1.a_2<2(b_1+b_2)$ (mâu thuẫn) ...

Cho $x,y,z>0$ và $x^{2011}+y^{2011}+z^{2011}=3$. Tìm max $x+y+z$

Đặt $a=3^x;b=3^y;c=3^z$
$a,b,c>0$
Ta có $a,b,c>0$
$\frac{a^2}{a+bc}=\frac{a^3}{a^2+abc}$
Từ giả thiết suy ra $abc=ab+bc+ca$
Suy ra $\frac{a^2}{a+bc}=\frac{a^3}{(a+c)(a+b)}$
Ta có $\frac{a^3}{(a+c)(a+b)}+\frac{a+c}{8}+\frac{a+b}{8}\geq \frac{3a}{4}$
Tương tự rồi cộng các bdt ta có dpcm

$f(x,y,z)=(xy+\frac{x}{y})+(yz+\frac{y}{z})+(zx+\frac{z}{x})-x-y-z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 6$

Sửa lại xem sao, như thế này ạ?

Ta có: $4(a_{1}+1)(a_{1}-\frac{1}{2})^2\geq 0\Rightarrow 4a_{1}^3-3a_{1}+1\geq 0$. Làm tương tự với $a_{2}, ..., a_{n}$; ta suy ra $4\sum a_{1}^3-3\sum a_{1}+n\geq 0\Rightarrow 3\sum a_{1}\leq n\Rightarrow \sum a_{1}\leq \frac{n}{3}$

Dấu "=" xảy ra khi nào vậy ?

Cho $a_1^3+a_2^3+...+a_n^3=0$ với $-1\leq a_i\leq 1$
Cmr : $a_1+a_2+...+a_n\leq \frac{n}{3}$

Ở đây cũng có nè
http://diendantoanho...la-tam-giac-gi/

HPT có dạng $\left\{\begin{matrix} f(x)=g(y) & & \\ f(y)=g(z) & & \\ f(z)=g(x)& & \end{matrix}\right.$
Khảo sát 2 hàm số $f(t)=t^{^{2}}$ và $g(t)= t+1$
Ta thấy $f(t)$ tăng từ $(0;+\infty )$ và giảm từ $(-\infty;0 )$
$g(t)$ tăng với $\forall t\epsilon R$
Không mất tính tổng quát giả sử: $x=min\begin{Bmatrix} x,y,z \end{Bmatrix}$
Trường hợp 1: $x\epsilon (0;+\infty )$ $\Rightarrow x,y,z\epsilon (0;+\infty )$ ở khoảng này thì các hàm f và g đều tăng$\Rightarrow f(x)\leq f(y)\leq f(z)$$\Rightarrow g(y)\leq g(z)\leq g(x)$$\Rightarrow y\leq z\leq x$
Suy ra: $x= y= z$$= \frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$
Trường hợp 2: $x\epsilon (-\infty ;0)$
Không mất tính tổng quát giả sử: $x= max\begin{Bmatrix} x,y,z & \end{Bmatrix}\Rightarrow x,y,z\epsilon (-\infty ;0)$ ở khoảng này f giảm và g tăng
$x\geq y\Rightarrow f(x)\leq f(y)\Rightarrow g(y)\leq g(z)\Rightarrow y\leq z\Rightarrow f(y)\geq f(z)\Rightarrow g(z)\geq g(x)\Rightarrow z\geq x\Rightarrow f(z)\leq f(x)\Rightarrow g(x)\leq g(y)\Rightarrow x\leq y$
Suy ra $x= y$
Làm tuơng tự như thế ta suy ra $x= y= z$$= \frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$

Đây là phương pháp gì vậy chị ?

Bài 1: Tìm tất cả các số tự nhiên gồm hai chữ số biết rằng số đó chia hết cho tích hai chữ số của nó.

Gọi số đó là $ab$ ( gạch đầu kiểu gì ạ? )
Ta có : $10a+b\vdots ab$ (1)
$\Rightarrow 10a+b\vdots a$
$\Rightarrow b\vdots a$
Đặt $b=ak$ ( $0<k\leq 9$ )
Thay vào (1) được $a(10+k)\vdots ab$
$\Rightarrow 10+k\vdots b$
$\Rightarrow 10+k\vdots k$ ( do $b\vdots k$ )
$\Rightarrow 10\vdots k$
$\Rightarrow k\in {1;2;5}$
* Nếu $k=1$. Thay vào (1) được $11a\vdots ab$
$\Rightarrow 11\vdots b$
$\Rightarrow b=1$ ...
* Nếu $k=2$, Thay vào (1) được $12a\vdots ab$...

Tìm $m$ để hệ sau có nghiệm duy nhất :
$\left\{\begin{matrix}\sqrt{\frac{1}{2}-x}+\sqrt{y}=m(1)\\\sqrt{\frac{1}{2}-y}+\sqrt{x}=m\end{matrix}\right.$

ĐK : $0\leq x,y\leq \frac{1}{2}$
Trừ 2 vế 2 pt đi, ta được : $(\sqrt{\frac{1}{2}-x}-\sqrt{\frac{1}{2}-y})+(\sqrt{y}-\sqrt{x})=0$
$\leftrightarrow \frac{y-x}{\sqrt{\frac{1}{2}-x}+\sqrt{\frac{1}{2}-y}}+\frac{y-x}{\sqrt{y}+\sqrt{x}}=0$
$\leftrightarrow (y-x)(\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}-x}+\sqrt{\frac{1}{2}-y}}+\frac{1}{\sqrt{y}+\sqrt{x}})=0$
Từ đây dễ thấy $x=y$. Thay vào (1) $\Rightarrow \sqrt{\frac{1}{2}-x}+\sqrt{x}=m$ (2)
Nhận thấy : nếu $x$ là nghiệm của (2) thì $\frac{1}{2}-x$ cũng là nghiệm của (2). Vậy để hệ có nghiệm duy nhất thì $x=\frac{1}{2}-x\Rightarrow x=...$

Cách 2 :
Ta có : $\frac{ON}{ND}=\frac{S_{NOB}}{S_{NDB}}=\frac{OB.NB.\frac{1}{2}sin\hat{OBN}}{DB.NB.\frac{1}{2}sin\hat{DBN}}$
Tương tự $\frac{OM}{AM}=\frac{S_{COM}}{S_{CAM}}=\frac{CM.CO.\frac{1}{2}sin\hat{MCO}}{AC.CM.\frac{1}{2}sin\hat{ACM}}$
Nhân 2 cái với nhau, kết hợp với $\hat{MCO}=\hat{DBN}$ và $\hat{ACM}=\hat{OBN}$ là ra ...

Em là Phạm Ngọc Hoàng, còn bạn kia là Phạm Thị Khánh Ly, cùng lớp ^^ Các bác thấy thế nào ạ?

Cmr : $\frac{3a^2}{5a^2+(b+c)^2}+\frac{3b^2}{5b^2+(c+a)^2}+\frac{3c^2}{5c^2+(a+b)^2}\leq 1$ với $a,b,c>0$

Cho hai đường kính $AB$ và $CD$ vuông góc với nhau trong đường tròn $(O)$. Điểm $E$ thuộc cung $AD$ nhỏ. $EC$ cắt $AO$ tại $M$; $EB$ cắt $CO$ tại $N$. Chứng minh rằng : $\frac{OM}{AM}.\frac{ON}{ND}$ không đổi.