LotusSven

Dễ nhận thấy rằng nếu ta nối 2 điểm bất kỳ của đường tròn sao cho "ở giữa" 2 điểm đó có một số lẻ điểm khác thì sẽ không bao giờ thỏa yêu cầu đề bài.
Vì vậy ta sẽ phải nối sao cho giữa hai điểm bất kỳ có một số chẵn điểm khác, ta gọi dây cung nối như vậy là dây cung đúng!

Gọi cách nối $2n$ điểm thỏa đề bài là $S_n$, quy ước $S_0=1$

Một dây cung đúng bất kỳ chia tập hợp điểm trên đường tròn làm $2$ nửa, với $2k$ điểm một bên và $2n-2-2k$ điểm nửa còn lại
Như vậy ta có:
\begin{equation}\label{eq1} S_n=\sum_{k=0}^{n-1}S_kS_{n-1-k}\end{equation}
Dễ dàng nhận ra \eqref{eq1} chính là hệ thức truy hồi của số Catalan $\complement_n$

Do đó: $S_n=\complement_n=\dfrac{{2n\choose n}}{n+1}=\dfrac{(2n)!}{n!(n+1)!}$

Công việc còn lại dành cho bạn

Hãy chứng minh điều trên

Cảm ơn bạn rất nhiều ... Mình đã xem mà quên mất cái này ''

2. Ứng dụng: Một số bài toán có kết quả là dãy số Catalan
- Số cách nối 2n điểm trên đường tròn bằng n dây cung không cắt nhau.''

Tìm các số nguyên tố $p,q$ sao cho $p^{q-1} + q^{p-1} \equiv 1 ( mod pq )$

Cho $n$ là số nguyên dương. Có bao nhiêu cách nối $2n$ điểm trên một đường tròn bằng $n$ dây cung sao cho không có hai dây cung nào cắt nhau

Cho $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ là $n$ tập hợp khác rỗng, đôi một khác nhau sao cho khi chọn k\in $\left \{ 1,2,...,n \right \}$ thì $\forall i,j\in \left \{ 1,2,...,n \right \} \setminus \left \{ k \right \} $ ta có $A_{i}\bigcap A_{j}= A_{k}$. Chứng minh rằng nếu $\left | A_{i} \right |\leq 2$ một phần tử x thuộc ít nhất $\frac{n}{2}$ tập hợp đã cho.

Set $a_1,a_2,...,a_{2k}$ are even numbers in $\left(\frac{p}{2};p \right)$,and hence there're $2k$ numbers.
$b_1,b_2,...,b_{2k}$;$c_1,c_2,...,c_{2k}$ are respectively odd numbers and even numbers in $\left(0;\frac{p}{2} \right)$,with $a_{i}+b_{i}=p$.
We have :$\prod_{i=1}^{2k} b_ic_i\equiv (\frac{p-1}{2})!\mod p\Rightarrow (-1)^{2k}\prod_{i=1}^{2k} (p-b_i)\cdot \prod_{i=1}^{2k}c_i\equiv (\frac{p-1}{2})!\mod p\Rightarrow \prod_{i=1}^{2k}a_ic_i\equiv (\frac{p-1}{2})!\mod p\Rightarrow 2^{\frac{p-1}{2}}\cdot (\frac{p-1}{2})!\equiv (\frac{p-1}{2})!\mod p$.
(due to $a_{i};c_{i}$ are even numbers in $(0;p)$)
$\Longrightarrow 2^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\mod p$.

P.s:@LotusSeven:How can you post this topic in right box "Các bài toán và vấn đề về Số học" ,but can't understand Vietnamese ?

Mình hiểu tiếng Việt bạn nà. Nhưng không dịch 1 bài toán sang tiếng Anh được. Mình nhờ bạn dịch hộ để làm quen thôi mà Thanks bạn nhé

Let $1=d_{1}<d_{2}<...<d_{k}=n$ be all different divisors ò positive integer n written in ascending order. Determine all n such that:
a)$n=d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}$.
b)$n+1=d_{6}^{2}+d_{7}^{2}$.
c)$n^{2}= (d_{7}^{2}+d_{10}^{2})d_{22}^{2}$.

Tìm các số nguyên tố $p, q$ thoả mãn : $p^{q} - q^{p} +19 = pq^{2}$

Mod. Công thức toán phải kẹp bởi dấu đô la $