vohuy

Bài 5: Từ giả thiết suy ra tồn tại vô số cặp số nguyên dương x, y phân biệt sao cho:

$a(x+y)(x^{2}+y^{2})+b(x^{2}+xy+y^{2})+c(x+y)+d=a(x+y)^{3}+b(x+y)^{2}+c(x+y)+d-2axy(x+y)-bxy=0$(1)

Dễ thấy $\left | a(x+y)(x^{2}+y^{2})+b(x^{2}+xy+y^{2})+c(x+y)+d\right |$ tiến ra vô cùng khi $\left | x+y\right |$ tiến ra vô cùng. Do đó tồn tại m, n nguyên sao cho $m\leq x+y\leq n$ với mọi $x, y$ thỏa (1). Suy ra tồn tại $p$ nguyên thỏa $m\leq p\leq n$ sao cho tồn tại vô số $x,y$ thỏa (1) và $x+y=p$. Như vậy tồn tại vô số $x, y$ nguyên sao cho $xy(2ap+b)=2apxy+bxy=ap^{3}+bp^{2}+cp+d$, suy ra $2ap+b=0$. Từ đó $ap^{3}+bp^{2}+cp+d=0$ hay P(x) có nghiệm nguyên là p.