phanducnhatminh

           $2^{n-1}=(1+1)^{n-1}=\sum_{k=0}^{n-1}C_{n}^{k}$ (nhị thức newton).

Giải bài toán bằng 2 cách: Cho n người chọn ra k người trong đó có 1 người làm đội trưởng.(k chạy từ 1 đến n)

    *Chọn k người trước : -Có $C_{n}^{k}$ cách chọn k người từ n người.

                                       -Chọn đội trưởng : có k cách chọn đội trưởng

             => Theo quy tắc nhân có $k.C_{n}^{k}$ cách chọn

                  VÌ k chạy từ 1 đến n => Số cách chọn :$\sum_{k=1}^{n}kC_{n}^{k}$ = P  (1)

    *Chọn đội trưởng trước: -Có n cách chọn đội trưởng từ n người.

                                           -Có $\sum_{k=1}^{n}kC_{n}^{k-1}$=$sum_{k=0}^{n-1}C_{n}^{k}$= $2^{n-1}$

                                                  cách chọn k-1 người từ n người.

             =>Theo quy tắc nhân có $n.2^{n-1}$ cách chọn.    (2)

Từ (1) và (2) suy ra P=$n.2^{n-1}$

Đối với bài như thế này ta sẽ tách $a+b+c$ ra thành $m(a+2b+3c)+(1-m)a+(1-2m)b+(1-3m)c$ 

Trong đó $m(a+2b+3c)$$\geq 20m$. Ba cái $(1-m)a+(1-2m)b+(1-3m)c$ ghép với $\frac{3}{a}+\frac{9}{2b}+\frac{4}{c}$ AM-GM 2 số.

  VÌ thế dấu bằng xảy ra khi $a+2b+3c=20$. Thường thì a,b,c là STN nên giải cái pt nghiệm nguyên kia được a,b,c (Nếu có nhiều nghiệm thì thay từng cái vào xem cái nào min). Được a,b,c thì được m. từ đó bắt đầu trình bày....

         p/s:cách này hơi mò mẫm nhưng là giải pháp tạm thời. còn không từ dấu bằng ở 3 cái AMGM kết hợp với  $a+2b+3c=20$ (rất phức tạp)...

Đặt $1+p+p^{2}+p^{3}+p^{4}=n^{2} (n\epsilon N^{*})=>(2n)^{2}=4(1+p+p^{2}+p^{3}+p^{4}).$

Chặn $(2p^{2}+p)^{2}<(2n)^{2}<(2p^{2}+p+2)^{2}$ 

Suy ra $(2n)^{2}=(2p^{2}+p+1)^{2}=>4+4p+4p^{2}+4p^{3}+4P^{4}=1+2p+5p^{2}+4p^{3}+4p^{4}=>p^{2}-2p-3=0=>p=3$

$<=>\sqrt{x+y}+2=\sqrt{x}+\sqrt{y}=>x+y+4\sqrt{x+y}+4=x+y+2\sqrt{xy}=>2\sqrt{x+y}+2=\sqrt{xy}=>4(x+y)+8\sqrt{x+y}+4=xy$

Suy ra $\sqrt{x+y}$ là số tự nhiên(Không là số thập phân được vì x,y nguyên dương)

$\sqrt{x+y}$ là số tự nhiên suy ra $\sqrt{xy}$ là số tự nhiên chẵn. Đặt $\sqrt{xy}$=2a thì$\sqrt{x+y}=a-1$

      Từ đó được hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} xy=4a^{2}\\ x+y=(a-1)^{2} \end{matrix}\right.$

 Dùng định lí Vi-ét đảo ............

Bài 9: Giải phương trình: $x^2+3x+1=(x+3)\sqrt{x^{2}+1}$.

 

Bài 10: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác, chứng minh:

 

            $\frac{1}{a^{2}+bc}+\frac{1}{b^{2}+ac}+\frac{1}{c^{2}+ab}\leq \frac{a+b+c}{2abc}$

Bài 9:$(x^{2}+1)-3\sqrt{x^{2}+1}+3x-x\sqrt{x^{2}+1}=0<=>\sqrt{x^{2}+1}(\sqrt{x^{2}+1}-3)+x(3-\sqrt{x^{2}+1})=0<=>(\sqrt{x^{2}+1}-3)(\sqrt{x^{2}+1}-x)=0<=>x=2\sqrt{2}$