younglady9x

Giải bất phương trình: 

$4\sqrt{x+1}+2\sqrt{2x+3}\leq (x-1)(x^{2}-2)$

Điều kiện $x\geq -1$

BPT$\Leftrightarrow 4\sqrt{x+1}-8+2\sqrt{2x+3}-6-x^3+x^2+2x+12 \Leftrightarrow \frac{16(x-3)}{4\sqrt{x+1}+8}+\frac{8(x-3)}{2\sqrt{2x+3}+6}-(x-3)(x^2+2x+4)\leq 0$

$\Leftrightarrow (x-3)(\frac{16}{4\sqrt{x+1}+8}-2+\frac{8}{2\sqrt{2x+3}+6}-1-(x+1)^2))\leq 0$

$\Leftrightarrow (x-3)(\frac{-8\sqrt{x+1}}{4\sqrt{x+1}+8}+\frac{2-2\sqrt{2x+3}}{2\sqrt{2x+3}+6}-(x+1)^2))$

$\Leftrightarrow (x-3)(x+1)(\frac{-8}{(4\sqrt{x+1}+8)\sqrt{x+1}}-\frac{8}{(2\sqrt{2x+3}+6)(2+2\sqrt{2x+3})}-(x+1))\leq 0$

$\Leftrightarrow (x-3)(x+1)\geq0$( biểu thức dài dài kia nhỏ hơn 0 với mọi x lớn hơn bằng -1 nhé)

$\Leftrightarrow x\geq 3$ hoặc $x\leq -1$

Kết hợp điều kiện suy ra tập nghiệm x=-1 hoặc $x\geq 3$

ĐK: $-1\geq x\geq 1$

 

Phương trình thứ nhất của hệ đã cho tương đương với:

 

$y(2y^2+1)=\sqrt{1-x}(3-2x)$

 

Đặt $\sqrt{1-x}=z \geq 0$ thì phương trình trên tương đương 

 

$y(2y^2+1)=z(1+2z^2)$

 

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

 

$\sqrt{1-x}+1=2x^2+2x\sqrt{1-x^2}$

 

Do đó ta có: $y=z$ hay $y= \sqrt{1-x}$

 

Đến đây có thể nhân liên hợp để tìm ra nghiệm

Bạn có thể hướng dẫn cụ thể cho mình cách giải sau khi thay $y=\sqrt{1-x}$ vào phương trình (2) được không? Mình làm mãi không được, hình như vô nghiệm thì phải

ĐK: $\left\{\begin{matrix} 6x+y+10\geq 0\\ 2x+3\geq 0\\ y+1\geq 0\\ 3-2x\geq 0\\ 3+y\geq 0 \end{matrix}\right.$

 

Xét phương trình thứ nhất của hệ:  $2\sqrt{6x+y+10}=3\sqrt{2x+3}+\sqrt{y+1}$

 

Áp dụng bất đẳng thức Buniakovsky ta có: 

 

$\left ( \sqrt{3}.\sqrt{3(2x+3)}+\sqrt{y+1} \right )^{2}\leq 4(6x+y+10)$

 

$\Leftrightarrow 3\sqrt{2x+3}+\sqrt{y+1} \leq 2\sqrt{6x+y+10}$

 

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi đẳng thức xảy ra hay $\sqrt{\frac{3(2x+3)}{3}}=\sqrt{y+1}\Leftrightarrow 2x+3=y+1$

 

Đến đây thế vào phương trình thứ hai để tìm nghiệm

Mình có thể đặt ẩn phụ để tìm ra $2x+3 = y+1$ nhưng mà lúc thay vào phương trình (2) để giải là cả một vấn đề đấy

Giả sử $I(a,b,c)$ là tâm mặt cầu

 

Từ hai giả thiết tâm thuộc $(P)$, qua $A$ và tiếp xúc $(Q)$ dễ suy ra được hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} a+b-c+6=0\\ 3\sqrt{(a-1)^{2}+(b+2)^{2}+(c-4)^{2}}=|2a-2b+c+3| \end{matrix}\right.$

 

Có $(S):(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=(a-1)^{2}+(b+2)^{2}+(c-4)$

 

$(d):\left\{\begin{matrix} x=-3+3t\\ y=1-2t\\ z=1-t \end{matrix}\right.$

 

Thay $x;y;z$ của $(d)$ vào $(S)$, rút gọn ta được:

 

$7t^{2}+(3a+2b+c-6)t+4a-2b-5=0$ và phương trình này phải có 2 nghiệm phân biệt là tọa độ $A,B$ theo tham số là $t_{1};t_{2}$

 

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\sqrt{14(t_{2}-t_{1})^{2}}$

 

$\Rightarrow AB^{2}=(t_{1}+t_{2})^{2}-4t_{1}t_{2}=\frac{1}{49}$

 

Áp dụng $Viète$, ta được $(3a+2b+c-6)^{2}-28(4a-2b-5)=1$

 

Vậy ta có hệ: $\left\{\begin{matrix} a+b-c+6=0\\ 3\sqrt{(a-1)^{2}+(b+2)^{2}+(c-4)^{2}}=|2a-2b+c+3|\\(3a+2b+c-6)^{2}-28(4a-2b-5)=1 \end{matrix}\right.$

 

Về lý thuyết $3$ ẩn ta cần $3$ phương trình nhưng hệ này cũng...khá phức tạp, có bạn nào có cách khác không ?

 

Mình cũng ra được hệ này nhưng nhìn thấy sợ quá nên không làm tiếp nữa

Gọi I là trung điểm của AB => $\vec{IA} + \vec{IB} =\vec{0}$

$MA^2 + MB^2 = (\vec{MA})^2 + (\vec{MB})^2 =(\vec{MI}+\vec{IA})^2 + (\vec{MI}+\vec{IB})^2= 2MI^2 + IA^2 + IB^2 +2\vec{MI}(\vec{IA}+\vec{IB})  = 2MI^2 + IA^2 + IB^2$

$=>( MA^2 + MB^2 )min <=> MI min$ <=> M là hình chiếu của I lên (P)

Đến đây dẽ rồi bạn tự làm nhá