toansocaplqd

Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2013-2014

Ninh Thuận

Khóa ngày: 12/11/2013

Thời gian: 180 phút

 

 

 

( 6 bài / 20 điểm )

 

 

Cho tập $S=\left \{ x\in \mathbb{R}/ x^{3}-x^{2}-3x+3\geq 0 \right \}$. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f\left ( x \right )=-x^{4}+3x^{2}+2$ trên tập $S.$

 

 

Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix}\sqrt{9-\left ( 1-x^{2}y \right )^{2}}=x^{4}+y^{4}+1 \\ \sqrt{4+\left ( x-y \right )^{2}}=2x^{3}y^{2}+x^{4}-x^{6}\end{matrix}\right.$

 

 

Chứng minh rằng nếu $\frac{a}{m+2}+\frac{b}{m+1}+\frac{c}{m}=0 \left ( m> 0, a\neq 0 \right )$ thì $b^{2}\geq 4ac.$

 

 

Cho tam giác $ABC$ có các cạnh là $AB=c, BC=a, CA=b$. Gọi $AD=l_{a}$, $BE=l_{b}$, $CF=l_{c}$ lần lượt là độ dài đường phân giác trong của góc $A$, góc $B$ và góc $C$ của tam giác $ABC$.

a) Chứng minh rằng: $l_{a}^{2}=bc-DB.DC.$

b) Chứng minh rằng nếu $b> c$ thì $l_{b}< l_{c}.$

 

 

Tìm đa thức $P(x)$ với hệ số thực, thỏa mãn các điều kiện:

$i)  P(1)=2014;$

$ii) (x+1)(x+2)P(x)=x^{2}P(x+1)$, với mọi $x\in \mathbb{R}.$

 

 

Trong mặt phẳng cho $n$ đường thẳng $(n\geq 1)$, trong đó không có 2 đường thẳng nào song song và không có 3 đường thẳng nào đồng quy.

a) Tính số miền của mặt phẳng được tạo thành từ $n$ đường thẳng đã cho.

b) Chứng minh rằng ta có thể tô các miền trên bằng một trong hai màu khác nhau sao cho hai miền có cạnh chung thì khác màu.

----- Hết -----