motdaica

Lâu chưa chấm với cả tổng kết quá

Ta có:

$\frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}+\frac{1}{9y}+\frac{1}{9z}+\frac{1}{9t}$

$= \frac{xyzt}{x^3(yz+zt+ty)}+\frac{yz+zt+ty}{9yzt}$     (với xyzt=1)

$= \frac{yzt}{x^2(yz+zt+ty)}+\frac{yz+zt+ty}{9yzt}\geq 2\sqrt{\frac{1}{9x^2}}$    =$\frac{2}{3x}$         (theo BĐTCô-si)

$\Leftrightarrow \frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}\geq \frac{2}{3x}-(\frac{1}{9y}+\frac{1}{9z}+\frac{1}{9t})$

Tương tự ta có:

$\Leftrightarrow \frac{1}{y^3(xz+zt+tx)}\geq \frac{2}{3y}-(\frac{1}{9x}+\frac{1}{9z}+\frac{1}{9t})$

$\Leftrightarrow \frac{1}{z^3(yx+zt+tx)}\geq \frac{2}{3z}-(\frac{1}{9y}+\frac{1}{9x}+\frac{1}{9t})$

$\Leftrightarrow \frac{1}{t^3(yz+zx+xy)}\geq \frac{2}{3t}-(\frac{1}{9y}+\frac{1}{9z}+\frac{1}{9x})$

Khi đó:

$ \frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}+\frac{1}{y^3(xz+zt+tx)}+\frac{1}{z^3(xt+ty+yx)}+\frac{1}{t^3(xy+yz+zx)}\geq (\frac{2}{3x}+\frac{2}{3y}+\frac{2}{3z} +\frac{2}{3t})-(\frac{1}{3x}+\frac{1}{3y}+\frac{1}{3z}+\frac{1}{3t})$$= \frac{1}{3}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t})\geq \frac{4}{3}\sqrt[4]{\frac{1}{xyzt}}=\frac{4}{3}$

vậy $\frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}+\frac{1}{y^3(xz+zt+tx)}+\frac{1}{z^3(xt+ty+yx)}+\frac{1}{t^3(xy+yz+zx)}\geq \frac{4}{3}$

trường hợp dấu bằng xảy ra đâu bạn thiếu này

Bài làm: Ta có : A= $\frac{1}{x^{3}(yz+zt+ty)}$+$\frac{1}{y^{3}(xz+zt+tx)}+\frac{1}{z^{3}(xt+ty+yx)}+\frac{1}{t^{3}(xy+yz+zx)}$= $\sum \frac{1}{x^{3}(yz+zt+ty)}$

Vì xyzt=1 => A= $\sum \frac{1}{x^{2}(\frac{1}{t}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})}$

Đặt $\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c;\frac{1}{t}=d$ => abcd=1 => A= $\sum \frac{a^{2}}{b+c+d}$

Áp dụng bất đẳng thúc  B-C-S dạng phân thức và bất đẳng thức AM-GM cho 4 số ta có :

A= $\sum \frac{a^{2}}{b+c+d}$ $\geq \frac{(a+b+c+d)^{2}}{3(a+b+c+d)}$$=\frac{a+b+c+d}{3}\geq \frac{4\sqrt[4]{abcd}}{3}=\frac{4}{3}$. Bất đẳng thức được chứng minh.

Dấu bằng xảy ra <=> $\left\{\begin{matrix} abcd=1\\ a=b=c=d \end{matrix}\right.$=> a=b=c=d=1 =>x=y=z=t=1.

Hiện nay các bài thi của MHS đều đã được chấm, các em có gì thắc mắc thì gửi lên nhé! Anh E.Galois tổng hợp điểm nhé!

Anh CD13 ơi trận 4 đã chấm hết đâu với trận 5 còn chưa chấm bài nào cả

Do $C$ thuộc $\Delta \Rightarrow C(t+1,2-t,2t+1),t \in R$

Ta có $\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{AB}(2,-2,3)\\ \overrightarrow{AC}(t+1,1-t,2t+3) \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow S_{ABC}=\frac{1}{2}\left | \left [ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right ] \right |=\frac{1}{2}\sqrt{(t+9)^2+(t+3)^2+4^2}=\frac{1}{2}\sqrt{2t^2+24t^2+106}=\frac{1}{2}\sqrt{2(t+6)^2+34}\geqslant \frac{\sqrt{34}}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $t=6$, hay $C(7,-4,13)$

Thứ nhất : nhầm 24t thành $24t^{2}$

Thứ hai : nhâm t=-6 thành t=6 dẫn đến tọa độ C sai .Lần sau anh nhớ kiểm tra cẩn thận nhé

$\boxed{Điểm: 4}$