hippotas

 p là 1 ước nguyên tố của n

Rõ ràng  $2^{p}-1$ tồn 1 ước nguyên tố 4s-1

$\Rightarrow m^{2}+9\equiv 0 (mod 4s-1)$

+Nếu m không chia hết cho 4s-1, áp dụng định lí Fermat ta có điều vô lí.

+$m\vdots 4s-1\Rightarrow 3\vdots 4s-1\Rightarrow 4s-1=3$             

Nên p=2, nếu n có 1ước lẻ ta có điều vô lí

Vậy  n=$2^{k}$

còn đoạn chứng minh luôn tồn tại m để m²+9 chia hết cho 2ⁿ-1 nữa bạn  

p nguyên tô p>3 nên p có dạng 3k+1 3k+2

p=3k+2 thì p+4 chia hết cho 3 (vô lý) 

p = 3k+1 thì p+8 chia hết cho 3 => p+8 là hợp số 

$M\leqslant (a+b)^3+c^3 = (3-c)^3+c^3= 27-27c+9c^2$

ta cần cm 9 - $9 \geq 27-9c+c^2$ tương đương với $18 + 9c -9c^2 \geqslant 0 => 9(c+1)(2-c)\geq 0$

Ta có $a(4-a^{2})\geq 0$ nên $\sum 4a=12\geq \sum a^{3}=M$

Do đó $Max M=12$ 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a(4-a^{2})=b(4-b^{2})=c(4-c^{2})=0$

Giải hệ này bạn tìm được $a,b,c$ ( xét hơi nhiều TH tý )

max phải là 9 chứ bạn dấu = khi a = 0 b=1 và c=2 và hoán vị của nó 
dấu = của bạn khi a,b,c có thể = 2 hoặc 0 cộng lại k thể ra 3 đc 

ta cm bđt phụ $9(x^{3}+y^{3}+z^{3}) \geq (x+y+z)^{3}$
ta có $2(x^{3}+y^{3}+z^3) \geq 6xyz$
        $x^3+y^3 \geq xy(x+y), y^3+z^3 \geq yz(y+z),z^3+x^3 \geqslant zx(x+z)$
cộng vế vs vế ta cm đc bđt phụ 
nên$$9\sum \frac{a^{3}}{(a+b)^3} \geq (\sum \frac{a}{a+b})^{3}$$
đây là 1 dạng của nesbit nên $\sum \frac{a}{(a+b)} \geq \frac{3}{2}$
nên ta có rút gọn ta có đpcm 
dấu = khi a=b=c 

Áp dụng bđt cauchy 3 số thì 

$\frac{a^{3}}{b(2a+c)} + \frac{b}{3}+\frac{(2a+c)}{9}\geq a$

$\frac{b^{3}}{c(2b+a)} + \frac{c}{3}+\frac{(2b+a)}{9}\geq b$

$\frac{c^{3}}{a(2c+b)} + \frac{a}{3}+\frac{(2c+b)}{9}\geq c$
cộng các vế lại rồi trừ đi ta có 

$\frac{a^{3}}{b(2a+c)} + \frac{b^{3}}{c(2b+a)}+\frac{c^{3}}{a(2c+b)} \geq \frac{a+b+c}{3}= 1$