stshnue

1. Họ và tên thật: Nguyễn Minh Tú

2. Đang học lớp 11 Toán 1

    Trường THPT chuyên Đại học sư phạm hà nội

3. Đề : 

Cho ${a_n}$ là dãy nguyên thỏa mãn :

$a_{n+2}=3a_{n+1}-a_{n}$ mọi n tự nhiên

CMR : Tồn tại c nguyên mà $5(a_{n})^2+c$ là số chính phương mọi $n \geq 1997$

4. Đáp án : 

$a_{n+2} = 3a_{n+1} - a_{n} \Rightarrow (a_{n+2}+a_{n})^2=9(a_{n+1})^2$

$ \Rightarrow (a_{n+2}-a_{n})^2+4.a_{n+2}a_{n} = 9(a_{n+1})^2$ (1)

Dễ dàng chứng minh được $(a_{n+1})^2-a_{n+2}a_{n}= const = \frac{c}{4} $ 

Từ đó ta có (1) tương đương với : $(a_{n+2}-a_{n})^2+4((a_{n+1})^2-\frac{c}{4})=9a_{n+1}^2$

hay $5a_{n+1}^2+c = (a_{n+2}-a_{n})^2$ là 1 số chính phương  

(đpcm)